百度作业网一道数学不等式的求最小值的问题~
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/31 08:14:27
一道数学不等式的求最小值的问题~
已知：x^2+y^2+z^2=1,x,y,z属于R+,求（（Z+1）^2)/2xyz的最小值
已知：x^2+y^2+z^2=1,x,y,z属于R+,求（（Z+1）^2)/2xyz的最小值
【1】
∵x²+y²+z²=1.且x,y,z∈R+.
∴1-z²=x²+y²≥2xy＞0.
其中的等号仅当x=y时取得.
∴1/(2xyz)≥1/[z(1-z²)]
∴(1+z)²/(2xyz)≥(1+z)²/[z(1-z²)]
=(1+z)/[z(1-z)]
【2】
∵z(1-z)=3(1+z)-(1+z)²-2
∴(1+z)/[z(1-z)]=
(1+z)/[3(1+z)-(1+z)²-2]
=1/{3-(1+z)-[2/(1+z)]}
由基本不等式可知
(1+z)+[2/(1+z)]≥2√2.
又1＜1+z＜2,故2√2≤(1+z)+[2/(1+z)]＜3
∴0＜3-(1+z)-[2/(1+z)]≤3-2√2
∴1/{3-(1+z)-[2/(1+z)]}≥1/(3-2√2)=3+2√2.
∴(1+z)²/(2xyz)≥3+2√2
等号仅当x=y=√[(1-z²)/2],且z=(√2)-1时取得.
∴min=3+2√2
∵x²+y²+z²=1.且x,y,z∈R+.
∴1-z²=x²+y²≥2xy＞0.
其中的等号仅当x=y时取得.
∴1/(2xyz)≥1/[z(1-z²)]
∴(1+z)²/(2xyz)≥(1+z)²/[z(1-z²)]
=(1+z)/[z(1-z)]
【2】
∵z(1-z)=3(1+z)-(1+z)²-2
∴(1+z)/[z(1-z)]=
(1+z)/[3(1+z)-(1+z)²-2]
=1/{3-(1+z)-[2/(1+z)]}
由基本不等式可知
(1+z)+[2/(1+z)]≥2√2.
又1＜1+z＜2,故2√2≤(1+z)+[2/(1+z)]＜3
∴0＜3-(1+z)-[2/(1+z)]≤3-2√2
∴1/{3-(1+z)-[2/(1+z)]}≥1/(3-2√2)=3+2√2.
∴(1+z)²/(2xyz)≥3+2√2
等号仅当x=y=√[(1-z²)/2],且z=(√2)-1时取得.
∴min=3+2√2