微积分练习题,见补充说明
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/30 23:57:51
微积分练习题,见补充说明
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,而且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.
求证:①存在y属于(1/2,1),使f(y)=y;
②对任意实数p,至少存在一点q属于(0,y),使得f'(q)-p[f(q)-q]=1.
主要是第二问.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,而且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.
求证:①存在y属于(1/2,1),使f(y)=y;
②对任意实数p,至少存在一点q属于(0,y),使得f'(q)-p[f(q)-q]=1.
主要是第二问.
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把f'(q)-p[f(q)-q]=1变形为:f'(q)-1-p[f(q)-q]=0.很明显,f'(q)-1 与 f(q)-q之间是导数的关系.
所以构造函数F(x)=e^(-px)×[f(x)-x],则F'(x)=e^(-px)×[f'(x)-1-p(f(x)-x)]
因为F(0)=0,再由第一问F(y)=0,所以在[0,y]上使用罗尔定理即可得结论.
所以构造函数F(x)=e^(-px)×[f(x)-x],则F'(x)=e^(-px)×[f'(x)-1-p(f(x)-x)]
因为F(0)=0,再由第一问F(y)=0,所以在[0,y]上使用罗尔定理即可得结论.