如图,在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,已知AB=BC=1,BB 1 = 。连接BC 1 ,过B 1
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/18 04:47:27
如图,在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,已知AB=BC=1,BB 1 =![]() |
![]() |
(1)求证:AC 1 ⊥平面B 1 D 1 E; (2)求二面角E-B 1 D 1 -C 1 的大小。 |
![如图,在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,已知AB=BC=1,BB 1 = 。连接BC 1 ,过B 1](/uploads/image/z/19203783-15-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E9%95%BF%E6%96%B9%E4%BD%93ABCD-A+1+B+1+C+1+D+1+%E4%B8%AD%EF%BC%8C%E5%B7%B2%E7%9F%A5AB%3DBC%3D1%EF%BC%8CBB+1+%3D+%E3%80%82%E8%BF%9E%E6%8E%A5BC+1+%EF%BC%8C%E8%BF%87B+1)
(1)证明:连接A 1 C 1 交B 1 D 1 于点O 1 ,
在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,AB⊥平面B 1 BCC 1 ,
AC 1 在平面B 1 BCC 1 内的射影是BC 1 ,
又B 1 E⊥BC 1 ,
∴AC 1 ⊥B 1 E,
已知AB=BC=1,
∴底面A 1 B 1 C 1 D 1 是正方形,
∴A 1 C 1 ⊥B 1 D 1 ,
又AC 1 在平面A 1 B 1 C 1 D 1 内的射影是A 1 C 1 ,
AA 1 ⊥平面A 1 B 1 C 1 D 1 ,
∴AC 1 ⊥B 1 D 1 ,B 1 D 1 ∩B 1 E=B 1 ,
∴AC 1 ⊥平面B 1 D 1 E。
(2)连接EO 1 ,
在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC 1 ⊥平面A 1 B 1 C 1 D 1 ,
即EC 1 ⊥平面A 1 B 1 C 1 D 1 ,
∴EO 1 在平面A 1 B 1 C 1 D 1 内的射影是C 1 O 1 ,
又A 1 C 1 ⊥B 1 D 1 ,即C 1 O 1 ⊥B 1 D 1 ,
∴EO 1 ⊥B 1 D 1 ,
∴∠EO 1 C 1 为二面角E-B 1 D 1 -C 1 的平面角,
在长方形B 1 BCC 1 中,
BB 1 =
,BC=B 1 C 1 =1,B 1 E⊥BC 1 ,
∠EB 1 C 1 =∠C 1 BB 1 ,
∴直角△EB 1 C 1 ∽直角△C 1 BB 1 ,
∴
,
即EC 1 =
,
在直角△EC 1 O 1 ,EC 1 =C 1 O 1 =
,
∴∠EO 1 C 1 =45°。
在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,AB⊥平面B 1 BCC 1 ,
AC 1 在平面B 1 BCC 1 内的射影是BC 1 ,
又B 1 E⊥BC 1 ,
∴AC 1 ⊥B 1 E,
已知AB=BC=1,
∴底面A 1 B 1 C 1 D 1 是正方形,
∴A 1 C 1 ⊥B 1 D 1 ,
又AC 1 在平面A 1 B 1 C 1 D 1 内的射影是A 1 C 1 ,
AA 1 ⊥平面A 1 B 1 C 1 D 1 ,
∴AC 1 ⊥B 1 D 1 ,B 1 D 1 ∩B 1 E=B 1 ,
∴AC 1 ⊥平面B 1 D 1 E。
(2)连接EO 1 ,
在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC 1 ⊥平面A 1 B 1 C 1 D 1 ,
即EC 1 ⊥平面A 1 B 1 C 1 D 1 ,
∴EO 1 在平面A 1 B 1 C 1 D 1 内的射影是C 1 O 1 ,
又A 1 C 1 ⊥B 1 D 1 ,即C 1 O 1 ⊥B 1 D 1 ,
∴EO 1 ⊥B 1 D 1 ,
∴∠EO 1 C 1 为二面角E-B 1 D 1 -C 1 的平面角,
在长方形B 1 BCC 1 中,
BB 1 =
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/aa/2aafe02ad952c1ba1c775d99d4582fd3.jpg)
∠EB 1 C 1 =∠C 1 BB 1 ,
∴直角△EB 1 C 1 ∽直角△C 1 BB 1 ,
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/f/f3/ff36dc4d6861d0de9676e64143480e57.jpg)
即EC 1 =
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/e2/ce249f9430ccd6130ee669f918ab5229.jpg)
在直角△EC 1 O 1 ,EC 1 =C 1 O 1 =
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/ed/8edfeedf16e82e244cbfa3bdec747100.jpg)
∴∠EO 1 C 1 =45°。
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/52/45226dc7aac60c5a08c0b531e31a5754.jpg)
如图所示,在长方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,AB=BC=1,BB 1 =2,
如图,长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,AB= ,BC=CC 1 =1,则异面直线AC 1 与BB 1
已知长方体ABCD-A'B'C'D'的对角线A'C与侧棱BB'所成角为45度,且AB=BC=1,求A'C与侧面B'C'C
在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,BC=BB'=1,E为D'C'的中点,求二面角E-BD—C的正切值
如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′,AB=1,BC=2,AA′=3
如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D'.且AB=1 BC=2 AA'=2
已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',化简下列表达式:(1)向量AB+向量BB'-向量D'A+向量D'D-向量BC
如图,空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',且AB=1,BC=2,AA'=2,求直线B'C与平面B'BDD
已知a-b=2,b-c=1,求aa+bb+cc-ab-bc-ac的值
几何最短距离一个长方体,ABCD-A’B’C’D’AB长为3cm ,BB’长为1cm ,BC长为2cm,求A点到C’点在
如图,在长方形abcd-a'b'c'd'中,ab=bc=1,aa'=2,求b'c与d'b所成角的余弦值
长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,连接B1C,过B作B1C的垂线交CC1于E,交B1C于F