已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 11:36:17
已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的取值范围.
(1)令x=0,则∵f(x+1)-f(x)=2x,
∴f(1)-f(0)=0,
∴f(1)=f(0)
∵f(0)=1
∴f(1)=1,
∴二次函数图象的对称轴为x=
1
2.
∴可令二次函数的解析式为f(x)=y=a(x-
1
2)2+h.
令x=-1,则∵f(x+1)-f(x)=2x,
∴f(0)-f(-1)=-2
∵f(0)=1
∴f(-1)=3,
∴
1
4a+h=1
9
4a+h=3
∴a=1,h=
3
4
∴二次函数的解析式为y=f(x)=(x-
1
2)2+
3
4=x2-x+1
(2)∵在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方
∴x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立
∴x2-3x+1>m在[-1,1]上恒成立
令g(x)=x2-3x+1,则g(x)=(x-
3
2)2-
5
4
∴g(x)=x2-3x+1在[-1,1]上单调递减
∴g(x)min=g(1)=-1,
∴m<-1
∴f(1)-f(0)=0,
∴f(1)=f(0)
∵f(0)=1
∴f(1)=1,
∴二次函数图象的对称轴为x=
1
2.
∴可令二次函数的解析式为f(x)=y=a(x-
1
2)2+h.
令x=-1,则∵f(x+1)-f(x)=2x,
∴f(0)-f(-1)=-2
∵f(0)=1
∴f(-1)=3,
∴
1
4a+h=1
9
4a+h=3
∴a=1,h=
3
4
∴二次函数的解析式为y=f(x)=(x-
1
2)2+
3
4=x2-x+1
(2)∵在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方
∴x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立
∴x2-3x+1>m在[-1,1]上恒成立
令g(x)=x2-3x+1,则g(x)=(x-
3
2)2-
5
4
∴g(x)=x2-3x+1在[-1,1]上单调递减
∴g(x)min=g(1)=-1,
∴m<-1
已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x.
已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1和f(x+1)-f(x)=2x.
已知二次函数f(x)=满足条件f(0)=1,及f(x+1)-f(x)=2x,求函数f(x)的解析式
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