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已知,如图,△ABC中,∠C=60°,AD、BE是△ABC的角平分线,且交于点O,

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 10:41:17
已知,如图,△ABC中,∠C=60°,AD、BE是△ABC的角平分线,且交于点O,
求证:AB=AE+BD.
已知,如图,△ABC中,∠C=60°,AD、BE是△ABC的角平分线,且交于点O,
证明:在AB上取点M使AM=AE,连接OM
∵∠C=60°,AD、BE是△ABC的角平分线,
∴∠MBO=
1
2∠ABC,∠BAO=
1
2∠BAC,
∴∠BAO+∠MBO=
1
2(∠ABC+∠BAC)=
1
2(180°-∠C)=60°,
∴∠AOB=120°,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠OAM=∠OAE,


AO是公共边
∠OAM=∠OAE
AM=AE,
∴△AMO≌△AEO,
∴∠AOM=∠AOE=180°-∠AOB=60°,
∴∠BOM=180°-(∠AOM+∠AOE)=60°,∠BOD=∠AOE=60°,
∴∠BOM=∠BOD,
∵BE是∠ABC的角平分线,
∴∠MBO=∠DBO,
∵BO是公共边,∠MBO=∠DBO,∠BOD=∠BOM=60°
∴△BOM≌△BOD,
∴BM=BD,
∴AB=AM+BM=AE+BD.