特殊三角形问题
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/13 23:02:30
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解题思路: (1)由AC=AD得∠D=∠ACD,由平行四边形的性质得∠D=∠ABC,在△ACD中,由内角和定理求解; (2)如图2,在△ABC外作等边△BAE,连接CE,利用旋转法证明△EAC≌△BAD,可证∠EBC=90°,BE=AB=3,在Rt△BCE中,由勾股定理求CE,由三角形全等得BD=CE; (3)∠DAC=2∠ABC成立,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC.并取BE的中点K,连接AK,仿照(2)利用旋转法证明△EAC≌△BAD,利用内角和定理证明结论.
解题过程:
解:
(1)45;
(2)如图2,以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°,并在AE上取AE=AB,连接BE和CE.
∵△ACD是等边三角形,∴AD=AC,∠DAC=60°.
∵∠BAE=60°,∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC.即∠EAC=∠BAD.
∴△EAC≌△BAD.∴EC=BD.
∵∠BAE=60°,AE=AB=3,∴△AEB是等边三角形,∴∠EBA=60°,EB=3,
∵∠ABC=30°,∴∠EBC=90°.
∵∠EBC=90°,EB=3,BC=4,∴EC=5.∴BD=5.
(3)∠DAC=2∠ABC成立,证明如下:
如图3,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC.并取BE的中点K,连接AK.
∵AH⊥BC于H,∴∠AHC=90°.
∵BE∥AH,∴∠EBC=90°.
∵∠EBC=90°,BE=2AH,
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2.
∵BD2=4AH2+BC2,∴EC=BD.
∵K为BE的中点,BE=2AH,∴BK=AH.
∵BK∥AH,∴四边形AKBH为平行四边形.
又∵∠EBC=90°,∴四边形AKBH为矩形.∴∠AKB=90°.
∴AK是BE的垂直平分线.∴AB=AE.
∵AB=AE,EC=BD,AC=AD,∴△EAC≌△BAD.∴∠EAC=∠BAD.
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD.即∠EAB=∠DAC.
∵∠EBC=90°,∠ABC为锐角,∴∠ABC=90°-∠EBA.
∵AB=AE,∴∠EBA=∠BEA.
∴∠EAB=180°-2∠EBA.∴∠EAB=2∠ABC.
∴∠DAC=2∠ABC.
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最终答案:略
解题过程:
解:
(1)45;
(2)如图2,以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°,并在AE上取AE=AB,连接BE和CE.
∵△ACD是等边三角形,∴AD=AC,∠DAC=60°.
∵∠BAE=60°,∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC.即∠EAC=∠BAD.
∴△EAC≌△BAD.∴EC=BD.
∵∠BAE=60°,AE=AB=3,∴△AEB是等边三角形,∴∠EBA=60°,EB=3,
∵∠ABC=30°,∴∠EBC=90°.
∵∠EBC=90°,EB=3,BC=4,∴EC=5.∴BD=5.
(3)∠DAC=2∠ABC成立,证明如下:
如图3,过点B作BE∥AH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC.并取BE的中点K,连接AK.
∵AH⊥BC于H,∴∠AHC=90°.
∵BE∥AH,∴∠EBC=90°.
∵∠EBC=90°,BE=2AH,
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2.
∵BD2=4AH2+BC2,∴EC=BD.
∵K为BE的中点,BE=2AH,∴BK=AH.
∵BK∥AH,∴四边形AKBH为平行四边形.
又∵∠EBC=90°,∴四边形AKBH为矩形.∴∠AKB=90°.
∴AK是BE的垂直平分线.∴AB=AE.
∵AB=AE,EC=BD,AC=AD,∴△EAC≌△BAD.∴∠EAC=∠BAD.
∴∠EAC-∠EAD=∠BAD-∠EAD.即∠EAB=∠DAC.
∵∠EBC=90°,∠ABC为锐角,∴∠ABC=90°-∠EBA.
∵AB=AE,∴∠EBA=∠BEA.
∴∠EAB=180°-2∠EBA.∴∠EAB=2∠ABC.
∴∠DAC=2∠ABC.
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最终答案:略