正整数xyz,xyz=(14-x)(14-y)(14-z)且x+y+z小于28,求x^2+y^2+z^2的最小值
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/10 04:56:31
正整数xyz,xyz=(14-x)(14-y)(14-z)且x+y+z小于28,求x^2+y^2+z^2的最小值
这是复旦附中自招考的题目,
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∵x、y、z都是正整数,∴xyz是正整数,
∴xyz=(14-x)(14-y)(14-z)>0,
∴(14-x)、(14-y)、(14-z)都是正整数;或一者是正整数、另两者是负整数.
现在证明:(14-x)、(14-y)、(14-z)都是正整数.
假设(14-x)、(14-y)、(14-z)不全是正整数,则:必有两者是负整数.
不失一般性地设(14-y)、(14-z)是负整数,则有:y>14、z>14,∴y+z>28.
∵x、y、z都是正整数,∴x+y+z>y+z>28.这与给定的条件:x+y+z<28相矛盾.
∴(14-x)、(14-y)、(14-z)不全是正整数的假设是错误的.
∴(14-x)、(14-y)、(14-z)都是正整数.
∵(14-x)、(14-y)、(14-z)都是正整数,∴x、y、z都是小于14的正整数.
∵xyz
=(14-x)(14-y)(14-z)=(14^2-14x-14y+xy)(14-z)
=14^3-14^2z-14^2x+14xz-14^2y+14yz+14xy-xyz,
∴2xyz=14^3-14^2z-14^2x+14xz-14^2y+14yz+14xy,
∴xyz=7(14^2-14z-14x+xz-14y+yz+xy).
∴xyz是7的倍数,∴x、y、z中有一者是7的倍数,而x、y、z都小于14,∴x、y、z中有一者为7.
不失一般性地令z=7.则:
7xy=7(14^2-14×7-14x+7x-14y+7y+xy),
∴xy=14^2-14×7-14x+7x-14y+7y+xy,∴7(x+y)=14^2-14×7,
∴x+y=14×2-14=14,∴x+y≧2√(xy),∴14^2≧4xy,∴-2xy≧-14×7=-98.
于是:
x^2+y^2+z^2
=(x+y)^2-2xy+7^2=14^2-2xy+49≧196-98+49=147.
∴(x^2+y^2+z^2)的最小值是147.
∴xyz=(14-x)(14-y)(14-z)>0,
∴(14-x)、(14-y)、(14-z)都是正整数;或一者是正整数、另两者是负整数.
现在证明:(14-x)、(14-y)、(14-z)都是正整数.
假设(14-x)、(14-y)、(14-z)不全是正整数,则:必有两者是负整数.
不失一般性地设(14-y)、(14-z)是负整数,则有:y>14、z>14,∴y+z>28.
∵x、y、z都是正整数,∴x+y+z>y+z>28.这与给定的条件:x+y+z<28相矛盾.
∴(14-x)、(14-y)、(14-z)不全是正整数的假设是错误的.
∴(14-x)、(14-y)、(14-z)都是正整数.
∵(14-x)、(14-y)、(14-z)都是正整数,∴x、y、z都是小于14的正整数.
∵xyz
=(14-x)(14-y)(14-z)=(14^2-14x-14y+xy)(14-z)
=14^3-14^2z-14^2x+14xz-14^2y+14yz+14xy-xyz,
∴2xyz=14^3-14^2z-14^2x+14xz-14^2y+14yz+14xy,
∴xyz=7(14^2-14z-14x+xz-14y+yz+xy).
∴xyz是7的倍数,∴x、y、z中有一者是7的倍数,而x、y、z都小于14,∴x、y、z中有一者为7.
不失一般性地令z=7.则:
7xy=7(14^2-14×7-14x+7x-14y+7y+xy),
∴xy=14^2-14×7-14x+7x-14y+7y+xy,∴7(x+y)=14^2-14×7,
∴x+y=14×2-14=14,∴x+y≧2√(xy),∴14^2≧4xy,∴-2xy≧-14×7=-98.
于是:
x^2+y^2+z^2
=(x+y)^2-2xy+7^2=14^2-2xy+49≧196-98+49=147.
∴(x^2+y^2+z^2)的最小值是147.
设x,y,z为正实数,且x+y+z>=xyz,求x^2+y^2+z^2/xyz的最小值
2x+y+z=17 x+2z+y=14 x+z+2y=13 求:xyz
xyz∈R+且 x+2y+3z=36求 1/x +2/y +3/z的最小值
已知xyz不等于0,且x+2y-z=0,7x-y-z=0,求x+y+z/2x-y-z的值.
x:y:z=2:3:4且x+y+z=18求xyz
x+y+z=14,x'+y'+z'=15,(x-x')+(y+y')+z*z'=16,已知xyz为自然数,求x,y,z的
若xyz不等于0,且满足(y+z)/x=(x+z)/y=(x+y)/z,求(y+z)(x+z)(x+y)/xyz的值
若xyz不等于0,且(y+z)/x=(z+x)/y=(x+y)/z,求(y+z)(z+x)(x+y)/xyz的值?
已知x,y,z属于R+(正实数),且xyz(x+y+z)=4+2*根号下3,则(x+y)(y+z)的最小值是?
已知x,y,z为正整数,且满足x³-y³-z³=3xyz,x²=2(y+z),求
已知x,y,z为正整数,且满足x³-y³-z³=3xyz,x²=2(y+z),求
已知x+y-z/z=x-y+z/y=-x+y+z/x,且xyz不等于0,求分式[(x+y)(x+z)(y+z)]/xyz