(狱吏问题)某王国对囚犯进行大赦,让一狱吏n次通过一排锁着的n间牢房,每通过一次按所定规则转动门锁,每转动一次,原来锁着
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/16 02:35:10
(狱吏问题)某王国对囚犯进行大赦,让一狱吏n次通过一排锁着的n间牢房,每通过一次按所定规则转动门锁,每转动一次,原来锁着的被打开,原来打开的被锁上;通过n次后,门锁开着的,牢房中的犯人放出,否则犯人不得获释.转动门锁的规则是这样的,第一次通过牢房,要转动每一把门锁,即把全部锁打开;第二次通过牢房时,从第二间开始转动,每隔一间转动一次;第k次通过牢房,从第k间开始转动,每隔k-1 间转动一次;问通过n次后,那些牢房的锁仍然是打开的?
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问题分析: 牢房的锁最后是打开的,则该牢房的锁要被转动奇数次;如果把n间牢房用 编号,则第k间牢房被转动的次数,取决于k是否为 整除,也即k的因子个数,利用自然数因子个数定理,我们得到结论:只有编号为完全平方数的牢房门仍是开着的.
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