（2014•德阳一模）已知函数F（x）=lnx-ax-a−1x+1．

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/12 08:17:51

（2014•德阳一模）已知函数F（x）=lnx-ax-

a−1

（1）由题意得F′（x）=
1
x-a+
a−1
x2，
∴F′（2）=
1
2-a+
a−1
4=0⇒a=
1
3，
（2）由（1）得F′（x）=
−(x−1)(ax+a−1)
x2，
①当0＜a＜
1
2时，
1−a
a=
1
a-1＞1，
故x∈（0，1）时F′x）＜0，
x∈（1，
1
a-1）时，F′（x）＞0，
x∈（
1
a-1，+∞）时，F′（x）＜0，
即F（x）在（0，1）上递减，在（1，
1
a-1）上递增，在（
1
a-1，+∞）上递减；
②a=
1
2时，F′（x）=
−(x−1)2
2x2≤0，（当且仅当x=1时等号成立），
故F（x）在（0，+∞）上递减，
综上：当0＜a＜
1
2时F（x）在（0，1）上递减，在（1，
1
a-1）上递增，在（
1
a-1，+∞）上递减；
a=
1
2时，F（x）在（0，+∞）上递减；
（3）由题意
F(x1)−F(x2)
x1−x2＞-a-1，∀x₁≠x₂，x₁，x₂∈[1，2]恒成立，
不妨设x₁＞x₂，则
F(x1)−F(x2)
x1−x2＞-a-1⇔F（x₁ ）-F（x₂ ）＞-（a+1）x₁+（a+1）x₂，
即F（x₁ ）+（a+1）x₁＞F（x₂ ）+（a+1）x₂，函数y=F（x）+（a+1）x在[1，2]上递增，
∴y′=

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