百度作业网例题4 1和2小问
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/16 13:42:19
例题4 1和2小问
（1）g(x)连续的要求是当x趋于0时limg(x)=g(0),由于g(0)=a,所以只要计算limg(x)即可,这是0/0型未定式,用洛必达法则很容易求出极限limg(x)=f'(0),即a=f'(0).
（2）由于连续不一定可导,现在来验证g(x)在x=0可导,根据导数定义,g'(0)=lim[g(x)-g(0)]/x=lim[f(x)-xf'(0)]/x^2=lim[f'(x)-f'(0)]/2x=f''(0)/2,因此g(x)在x=0可导.当x≠0时,根据求导公式g'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2,现在对g'(x)在x趋于0时取极限,有
limg'(x)=lim[xf'(x)-f(x)]/x^2=lim[f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/2x=limf''(x)/2,由于f''(x)连续,则limf''(x)/2=f‘’(0)/2,因此有limg'(x)=g'(0),即g'(x)在x=0处连续.
再问： limg'(x)=lim[xf'(x)-f(x)]/x^2=lim[f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/2x=limf''(x)/2 感觉你这边少了个负号
再答： lim[f'(x)-f'(0)]/2x=f''(0)/2 是用的二阶导数定义（也可以用洛必达），不明白你说的xf''(0)是怎么得出来的。。。
再问： 么么么 从lim[f(x)-xf'(0)]/x^2到这里=lim[f'(x)-f'(0)]/2x 如果用罗必塔的话 不是应该多一项目xf''(0)吗？
再答： 你说这一步啊，这确实是用的洛必达，注意f'(0)是个常数，而不是关于x的函数！因此分子求导就等于f'(x)-f'(0)。
（2）由于连续不一定可导,现在来验证g(x)在x=0可导,根据导数定义,g'(0)=lim[g(x)-g(0)]/x=lim[f(x)-xf'(0)]/x^2=lim[f'(x)-f'(0)]/2x=f''(0)/2,因此g(x)在x=0可导.当x≠0时,根据求导公式g'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2,现在对g'(x)在x趋于0时取极限,有
limg'(x)=lim[xf'(x)-f(x)]/x^2=lim[f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/2x=limf''(x)/2,由于f''(x)连续,则limf''(x)/2=f‘’(0)/2,因此有limg'(x)=g'(0),即g'(x)在x=0处连续.
再问： limg'(x)=lim[xf'(x)-f(x)]/x^2=lim[f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/2x=limf''(x)/2 感觉你这边少了个负号
再答： lim[f'(x)-f'(0)]/2x=f''(0)/2 是用的二阶导数定义（也可以用洛必达），不明白你说的xf''(0)是怎么得出来的。。。
再问： 么么么 从lim[f(x)-xf'(0)]/x^2到这里=lim[f'(x)-f'(0)]/2x 如果用罗必塔的话 不是应该多一项目xf''(0)吗？
再答： 你说这一步啊，这确实是用的洛必达，注意f'(0)是个常数，而不是关于x的函数！因此分子求导就等于f'(x)-f'(0)。