二次函数f(x)同时满足下列三个条件:(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为15;(3)f(x)=0
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 15:57:11
二次函数f(x)同时满足下列三个条件:(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为15;(3)f(x)=0的两根的平方和等于32.求f(x)的解析式.
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由二次函数f(x)同时满足下列两个个条件:(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为15;
说明其对称轴为x=1,抛物线开口向下.
可设f(x)=a(x-1)2+15(a<0).
化为f(x)=ax2-2ax+a+15,
设f(x)=0的两个实数根为x1,x2.
∴x1+x2=2,x1x2=
a+15
a.(*)
∵f(x)=0的两根的平方和等于32,∴
x21+
x22=32.
化为(x1+x2)2−2x1x2=32.
把(*)代入上式得22−2×
a+15
a=32,解得a=-1.
∴f(x)=-(x-1)2+15=-x2+2x+14.
说明其对称轴为x=1,抛物线开口向下.
可设f(x)=a(x-1)2+15(a<0).
化为f(x)=ax2-2ax+a+15,
设f(x)=0的两个实数根为x1,x2.
∴x1+x2=2,x1x2=
a+15
a.(*)
∵f(x)=0的两根的平方和等于32,∴
x21+
x22=32.
化为(x1+x2)2−2x1x2=32.
把(*)代入上式得22−2×
a+15
a=32,解得a=-1.
∴f(x)=-(x-1)2+15=-x2+2x+14.
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