如图,△ADC和△CEB都是等边三角形,ACB三点共线,AC=4,CB=2,点G,M,H,N分别是AD,AB,BE,ED

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/07/09 03:44:54

如图,△ADC和△CEB都是等边三角形,ACB三点共线,AC=4,CB=2,点G,M,H,N分别是AD,AB,BE,ED的中点.

（1）试判断四边形GMHN的形状,并说明理由.
（2）求四边形GMHN的面积

如图,△ADC和△CEB都是等边三角形,ACB三点共线,AC=4,CB=2,点G,M,H,N分别是AD,AB,BE,ED

（1）
∵△ADC、△CEB都是等边三角形,∴AC＝DC、CE＝CB、∠ACD＝∠BCE＝60°.
显然有：∠ACE＝∠DCB＝60°＋∠DCE.
由AC＝DC、CE＝CB、∠ACE＝∠DCB,得：AE＝DB.
∵M、H、N、G依次是AB、BE、DE、AD的中点,
∴MH＝GN＝AE/2、GM＝NH＝DB/2,又AE＝DB,∴MH＝GN＝GM＝NH,
∴四边形GMHN是菱形.
（2）
容易得出：S(△DGN)＝（1/4）S(△DAE)、S(△BMH)＝（1/4）S(△BAE),
∴S(△DGN)＋S(△BMH)＝（1/4）S(△DAE)＋（1/4）S(△BAE)＝（1/4）S(四边形ABED).
同理,有：
S(△AGM)＋S(△ENH)＝（1/4）S(△ABD)＋（1/4）S(△EBD)＝（1/4）S(四边形ABED).
∴S(△DGN)＋S(△BMH)＋S(△AGM)＋S(△ENH)＝（1/2）S(四边形ABED),
∴S(四边形ABED)－S(四边形GMHN)＝（1/2）S(四边形ABED),
∴S(四边形GMHN)＝（1/2）S(四边形ABED).
过D、E分别作AB的垂线,垂足分别为P、Q.
容易得出：DP＝（√3/2）AC=2√3、EQ＝（√3/2）CB＝√3、PQ＝AB/2＝3、AP＝2、QB＝1.
∴S(四边形ABED)
＝S(△DAP)＋S(梯形DPQE)＋S(△EQB)
＝（1/2）AP×DP＋（1/2）（DP＋EQ）PQ＋（1/2）QB×EQ
＝（1/2）×2×2√3＋（1/2）×（2√3＋√3）×3＋（1/2）×1×√3
＝2√3＋（9/2）√3＋（1/2）√3
＝7√3.
∴S(四边形GMHN)＝（7/2）√3.
再问：为什么容易得出：S(△DGN)＝（1/4）S(△DAE)、S(△BMH)＝（1/4）S(△BAE)
再答： ∵GN是△DAE的中位线，∴GH∥AE、GH＝（1/2）AE。由GH∥AE，得：△DGH∽△DAE，∴S(△DGN)/S(△DAE)＝（GH/AE）^2＝（1/2）^2＝1/4， ∴S(△DGN)＝（1/4）S(△DAE)。同理，有：S(△BMH)＝（1/4）S(△BAE)。

如图,△ABC和△ECD都是等边三角形,B C D三点共线,AD,BE交于点O,AC,BE交于点M,AD,CE交于点N 如图,AB,CD相交于点E,AD=AE,CB=CE.F,G,H分别是边DE,BE,AC的中点如图,AB,CD相交与点E,AD=AE,CB=CE.F,G,H分别是DE,BE,AC的中点.猜想已知:如图,AD、BE相交于点C,AB=AC,EC=ED,M、F、G分别是AE、BC、CD的中点如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=CE，BE和CD相交于点F．已知：如图,△ABC、△CDE都是等边三角形,AD、BE相交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点．如图，△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．求证：OB⊥DF 如图,已知△ABC是等边三角形,点D和点E分别是BC和AC上一点,AE=CD,BE、AD交于点F,BG⊥AD于G. 如图：AD,BE相交于点C,AB=AC,EC=ED;M.F.G分别是AE,BC,CD的中点.求证：AE=2MF MF=M 如图B、C、D三点共线,三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形,AD和BE相交于点F求证CG=CH 已知:如图△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线.过点M作CM的垂线与AC和CB的延长线分别交于点D和点E 如图：AD,BE相交于点C,AB=AC,EC=ED;M.F.G分别是AE,BC,CD的中点. 求证：AE=2MF MF=