百度作业网因式分解与证明题
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/08 10:31:46
已知a,b,c都是正整数,且a²+b²=c²,且a是素数证明:b、c两数必为一奇一偶
解题思路： 分类证明，综合可得、
解题过程：
证明（1）：若a=2，则4+b²=c²，4= c²- b²=(c-b)(c+b),三种情况c-b=1， c+b=4；c-b=2， c+b=2； c-b=4，c+b=1；后两种舍去，因为c>b.可得c=2.5，b=1.5，不满足，所以a是大于2的素数,很显然b、c都大于1。
若a=2k+1 (其中k>1)，则(2k+1)²+b²=c²，又若b是奇数，设b=2m+1；
(2k+1)²+（2m+1）²=c²，4k²+4m²+4k+4m+2=c²，左边为偶数，所以右为偶数，即有c为偶数。若b是偶数，设b=2m；(2k+1)²+4m²=c²，4k²+4m²+4k+1=2(2k²+2m²+2k)+1=c²,左边为奇数，所以右为奇数，即有c为奇数。（奇数x奇数=奇数，奇数x偶数=偶数，偶数x偶数=偶数）
综上结论得证.
最终答案：略
解题过程：
证明（1）：若a=2，则4+b²=c²，4= c²- b²=(c-b)(c+b),三种情况c-b=1， c+b=4；c-b=2， c+b=2； c-b=4，c+b=1；后两种舍去，因为c>b.可得c=2.5，b=1.5，不满足，所以a是大于2的素数,很显然b、c都大于1。
若a=2k+1 (其中k>1)，则(2k+1)²+b²=c²，又若b是奇数，设b=2m+1；
(2k+1)²+（2m+1）²=c²，4k²+4m²+4k+4m+2=c²，左边为偶数，所以右为偶数，即有c为偶数。若b是偶数，设b=2m；(2k+1)²+4m²=c²，4k²+4m²+4k+1=2(2k²+2m²+2k)+1=c²,左边为奇数，所以右为奇数，即有c为奇数。（奇数x奇数=奇数，奇数x偶数=偶数，偶数x偶数=偶数）
综上结论得证.
最终答案：略