实变分析-勒贝格积分的问题

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/05 07:46:20

实变分析-勒贝格积分的问题
设由[0,1]中取n个可测子集E1,E2,...,En.假定[0,1]中任一点至少属于这n个集中的p个,试证这n个子集中必有一集,它的测度不小于p/n.

∵[0,1]中任意一点都属于这n个[0,1]的子集{Ek}中的p个
∴任意x∈[0,1],都有x∈E1∪E2∪...∪En
∴E1∪E2∪...∪En=[0,1]
下面首先对p归纳证明∑m(Ek)≥p,这里k从1到n求和
p=1时显然成立,∵∑m(Ek)≥m(∪Ek)=m([0,1])=1
假设结论对p-1成立,下面证明结论对p也成立
记F1=E1,F2=E2\F1,F3=E3\(F1∪F2),.,
Fk=Ek\(F1∪F2∪...∪F(k-1)),...,Fn=En\(F1∪F2∪...∪F(n-1))
则对任意i≠j,有Fi∩Fj=∅,即{Fk}两两不交,∴∑m(Fk)=m(∪Fk)
且对任意1≤k≤n,有F1∪F2∪...∪Fk
=F1∪F2∪...∪F(k-1)∪(Ek\(F1∪F2∪...∪F(k-1)))
=F1∪F2∪...∪F(k-1)∪Ek
=F1∪F2∪...∪F(k-2)∪E(k-1)∪Ek
=...=E1∪E2∪...∪Ek
∴∑m(Fk)=m(∪Fk)=m(∪Ek)=m([0,1])=1
再记Gi=Ei\Fi,则 ∵Fi包含于Ei,∴m(Gi)=m(Ei)-m(Fi)
对x∈[0,1],设E1,E2,...,En中所有含有x的集合依次为
Ex(1),Ex(2),...,Ex(s),其中x(1)x(2)≥x(1)+1
∴x∈Ex(t)\Fx(t)=Gx(t),t=2,3,...,s,即x属于n个集合G1,...,Gn中的
s-1个,而s-1≥p-1,由归纳假设知∑m(Gk)≥p-1
∴∑m(Ek)=∑m(Gk)+∑m(Fk)≥p-1+1=p
∴归纳假设成立.由此可知必然存在i,使得m(Ei)≥p/n
否则有∑m(Ek)

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