关于正四面体ABCD,有以下命题:
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/17 21:00:14
关于正四面体ABCD,有以下命题:
①正三棱锥都是正四面体;
②若E,F分别为△ABC,△BCD的中心,则EF∥AD;
③AB⊥CD;
④将等差数列的任意连续四项分别写在四面体的四个面上,则任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和;
⑤从正四面体的六条棱中任选两条,则它们互相垂直的概率为
①正三棱锥都是正四面体;
②若E,F分别为△ABC,△BCD的中心,则EF∥AD;
③AB⊥CD;
④将等差数列的任意连续四项分别写在四面体的四个面上,则任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和;
⑤从正四面体的六条棱中任选两条,则它们互相垂直的概率为
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![关于正四面体ABCD,有以下命题:](/uploads/image/z/20322839-47-9.jpg?t=%E5%85%B3%E4%BA%8E%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93ABCD%EF%BC%8C%E6%9C%89%E4%BB%A5%E4%B8%8B%E5%91%BD%E9%A2%98%EF%BC%9A)
①正三棱锥的侧棱与底面棱长不一定相等,因此不一定是正四面体,不正确;![](http://img.wesiedu.com/upload/a/29/a29eb6a8bd9765cb98d91dcd6e74bee3.jpg)
②若E,F分别为△ABC,△BCD的中心,如图1,取BC的中点,连接DM,AM,则
AE
EM=
DF
FM=
2
1,因此EF∥AD,正确;
③如图2,设O点为底面ABC的中心,则DO⊥底面ABC,∴DO⊥AB,延长CO交AB于点N,连接DN,则CN⊥AB,∴AB⊥平面CDN,
∴AB⊥CD;![](http://img.wesiedu.com/upload/4/8c/48c37f9c6f3700e517bd10d515a6ccfb.jpg)
④将等差数列{an}的任意连续四项分别写在四面体的四个面上,可得a1+a4=a2+a3,可得a1+a3+a4=a2+2a3,若任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和,则2a3=0,同理可得ai=0(i=1,2,3,4),因此可知:这个等差数列除非是每一项都为0,否则不成立;
⑤从正四面体的六条棱中任选两条,利用③的结论可得:则它们互相垂直的概率p=
3
C26=
1
5,正确.
综上可知:只有②③⑤正确.
故答案为:②③⑤.
![](http://img.wesiedu.com/upload/a/29/a29eb6a8bd9765cb98d91dcd6e74bee3.jpg)
②若E,F分别为△ABC,△BCD的中心,如图1,取BC的中点,连接DM,AM,则
AE
EM=
DF
FM=
2
1,因此EF∥AD,正确;
③如图2,设O点为底面ABC的中心,则DO⊥底面ABC,∴DO⊥AB,延长CO交AB于点N,连接DN,则CN⊥AB,∴AB⊥平面CDN,
∴AB⊥CD;
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/8c/48c37f9c6f3700e517bd10d515a6ccfb.jpg)
④将等差数列{an}的任意连续四项分别写在四面体的四个面上,可得a1+a4=a2+a3,可得a1+a3+a4=a2+2a3,若任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和,则2a3=0,同理可得ai=0(i=1,2,3,4),因此可知:这个等差数列除非是每一项都为0,否则不成立;
⑤从正四面体的六条棱中任选两条,利用③的结论可得:则它们互相垂直的概率p=
3
C26=
1
5,正确.
综上可知:只有②③⑤正确.
故答案为:②③⑤.
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