已知a^2+b^2+c^2=3,求证:1/(a^2+a+1)+1/(b^2+b+1)+1/(c^2+c+1)≥1
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 23:22:19
已知a^2+b^2+c^2=3,求证:1/(a^2+a+1)+1/(b^2+b+1)+1/(c^2+c+1)≥1
abc都是正数
abc都是正数
![已知a^2+b^2+c^2=3,求证:1/(a^2+a+1)+1/(b^2+b+1)+1/(c^2+c+1)≥1](/uploads/image/z/3891222-54-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%5E2%2Bb%5E2%2Bc%5E2%3D3%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%3A1%2F%28a%5E2%2Ba%2B1%29%2B1%2F%28b%5E2%2Bb%2B1%29%2B1%2F%28c%5E2%2Bc%2B1%29%E2%89%A51)
这个要用到调和均值不等式
(a1+a2+...+an)/n≥n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
以及平方平均数大于等于算术平均数
√((a1²+a2²+...+an²)/n)≥(a1+a2+...+an)/n
这里n=3,有
(a1+a2+a3)/3≥3/(1/a1+1/a2+1/a3) ……(1)
√((a1²+a2²+a3²)/3)≥(a1+a2+a3)/3 ……(2)
用a²+a+1,b²+b+1,c²+c+1分别代替式(1)中的a1,a2,a3得到
(a²+b²+c²+a+b+c+3)/3≥3/(1/(a²+a+1)+1/(b²+b+1)+1/(c²+c+1))……(3)
用a,b,c分别代替式(1)中的a1,a2,a3得到
√((a²+b²+c²)/3)/n≥(a+b+c)/3 ……(4)
化简式(3)得到
1/(a²+a+1)+1/(b²+b+1)+1/(c²+c+1)≥9/(a²+b²+c²+a+b+c+3)……(5)
式(4)代入a²+b²+c²=3得到
a+b+c≤3……(6)
式(5)右边的分母代入a²+b²+c²=3,结合式(6)a+b+c≤3,得到
a²+b²+c²+a+b+c+3=6+a+b+c≤9
代回式(5)得到
1/(a²+a+1)+1/(b²+b+1)+1/(c²+c+1)≥9/9=1
综上得证.
我写得够详细了吧,如果还有什么疑惑随时欢迎HI我
(a1+a2+...+an)/n≥n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
以及平方平均数大于等于算术平均数
√((a1²+a2²+...+an²)/n)≥(a1+a2+...+an)/n
这里n=3,有
(a1+a2+a3)/3≥3/(1/a1+1/a2+1/a3) ……(1)
√((a1²+a2²+a3²)/3)≥(a1+a2+a3)/3 ……(2)
用a²+a+1,b²+b+1,c²+c+1分别代替式(1)中的a1,a2,a3得到
(a²+b²+c²+a+b+c+3)/3≥3/(1/(a²+a+1)+1/(b²+b+1)+1/(c²+c+1))……(3)
用a,b,c分别代替式(1)中的a1,a2,a3得到
√((a²+b²+c²)/3)/n≥(a+b+c)/3 ……(4)
化简式(3)得到
1/(a²+a+1)+1/(b²+b+1)+1/(c²+c+1)≥9/(a²+b²+c²+a+b+c+3)……(5)
式(4)代入a²+b²+c²=3得到
a+b+c≤3……(6)
式(5)右边的分母代入a²+b²+c²=3,结合式(6)a+b+c≤3,得到
a²+b²+c²+a+b+c+3=6+a+b+c≤9
代回式(5)得到
1/(a²+a+1)+1/(b²+b+1)+1/(c²+c+1)≥9/9=1
综上得证.
我写得够详细了吧,如果还有什么疑惑随时欢迎HI我
已知a+b+c=1,a平方+b平方+c平方=3,a>b>c,求证 -2/3
已知a>b>c,且2a+3b+4c=0.(1)求证:a+b+c>0
已知实数a b c 满足a+b+c=3 求证 (1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2)>=9(ab+bc+
a,b,c属于正实数,已知a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)=1,求证:a+b+c大于等于3/2
已知a,b,c都是正数 a+b+c=1 求证a^3+b^3+c^3>=(a^2+b^2+c^2)/3
1.已知:a/b=(a-c)/(c-b),求证:1/a+1/b=2/c
已知a+b+c=1,求证:a^2+b^2+c^2大于等于三分之一
..a b c为正,求证a^2/(b+c)+b^2/(c+a)+c^2/(a+b)>=1/2(a+b+c)
已知a,b,c都是正实数,求证:1/2a+1/2b+1/2c>=1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)
高二均值不等式,已知a,b,c都为正数,求证:(a+b+c)(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=9/2
已知a+b+c=0,abc不等于0,求证:(a^2+b^2+c^2)/(a^3+b^3+c^3)+2/3(1/a+1/b
已知a,b,c属于R+,且a+b+c=1,求证4a^2/(1-b)+4b^2/(1-c)+4c^2