如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除?

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/08 23:49:01

没有楼上解得那么麻烦,而且如果知道n(n+1)(2n+1)=1^2+2^2...+n^2,也不用证了,
思路：只要能证明n(n+1)(2n+1)能同时被2和3整除,n(n+1)(2n+1)就能被6整除.
证：
n,n+1必为一奇一偶,n(n+1)(2n+1)能被2整除.
是否能被3整除,需要分类讨论.
n为3的倍数时,n(n+1)(2n+1)能被3整除.
n不是3的倍数时,n=3k+1或n=3k+2(k为自然数,包括0）.
n=3k+2时,n+1=3k+2+1=3(k+1),是3的倍数,n(n+1)(2n+1)能被3整除.
n=3k+1时,2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1),是3的倍数,n(n+1)(2n+1)能被3整除.
综上,n(n+1)(2n+1)能同时被2和3整除,因此能被6整除.

如果不用数学归纳法,如何证明当n是自然数时,n(n+1)(2n+1)能被6整除? 用数学归纳法证明:(1)n(n+1)(2n+1)能被6整除用数学归纳法证明（2^3n)-1 (n属于N*）能被7整除用数学归纳法证明 2^3n -1 n∈N 能被7整除用数学归纳法证明n(n+1)(n+2)能被3整除用数学归纳法证明：(2^3n)-1 n∈N* 能被7整除用数学归纳法证明n^3+(n+1)^3+(n+2)^3能被9整除,其中n属于N* 对任何自然数,x^n-nx+(n-1)能被(x-1)^2整除,用数学归纳法证明这个命题 n的三次方加5n（n属于N*）能被6整除.不用数学归纳法证明. 用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除，其中n∈N*．用数学归纳法求证,当1-（x+3)^n时,(n是正整数）能被X+2整除当n.>=0时,多项式x^(n+2)+(〖x+1)〗^(2n+1)能被x^2+x+1整除.请用数学归纳法证明