梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,求证：PQ必过一定点

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/07 21:30:20

梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,求证：PQ必过一定点
梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q，PQ连线平分梯形面积，用解析法求证：PQ必过一定点。

PQ过梯形两底中点连线的中点.证明如下：
令AB、CD的中点分别为E、F,再令EF的中点为G.
∵AE＝BE,∴△AEF和△BEF是等底同高的三角形,
∴△AEF的面积＝△BEF的面积.
∵BF＝CF,∴△ADF和△BCF是等底同高的三角形,
∴△ADF的面积＝△BCF的面积.
∴△AEF的面积＋△ADF的面积＝△BEF的面积＋△BCF的面积,
即：ADFE的面积＝BCEF的面积,可见EF平分梯形ABCD的面积.
过G任作一直线分别交AB、CD于M、N.
∵ME∥FN,∴∠MEG＝∠NFG,显然,∠MGE＝∠NGF,而EG＝FG,∴△MEG≌△NFG,
∴△MEG的面积＝△NFG的面积,
∴ADFE的面积－△MEG的面积＋△NFG的面积＝BCEF的面积－△NFG的面积＋△MEG的面积,
即：ADNM的面积＝BCNM的面积,可见MN正是平分梯形面积的直线PQ.
∴平分梯形面积的PQ过点梯形两底中点连线的中点G.
再问：能用解析几何吗？
再答：用解析几何肯定是可以的。以点A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系。 ∵DC∥AB，∴可令B的坐标为（a，0），C的坐标为（c，d），D的坐标为（b，d）。设与AB、CD相交的直线L过点（m，n），斜率为k，则该直线方程为：y－n＝k（x－m），令该方程的y为0，得：x＝（km－n）/k，再令该方程的y为d，得：x＝（km＋d－n）/k。 ∴直线L与AB的交点是（（km－n）/k，0），令该点为M。　直线L与CD的交点是（（km＋d－n）/k，d），令该点为N。｜AM｜＝（km－n）/k，｜DN｜＝（km＋d－n）/k－b， ∴AMND的面积＝AMD的面积＋DMN的面积＝｜AM｜d/2＋｜DN｜d/2＝（｜AM｜＋｜DN｜）d/2 而ABCD的面积＝（｜CD｜＋｜AB｜）d/2＝（｜c－b｜＋a）/2 当ABCD的面积被MN平分时，即MN为PQ时，就有： AMND的面积＝ABCD的面积/2，即有：｜AM｜＋｜DN｜＝（｜CD｜＋｜AB｜）/2 ∴　2（km－n）/k＋2［（km＋d－n）/k－b］＝c－b＋a ∴　（km－n）＝［（a＋b＋c）k－2d］/4。又直线MN的方程为：y－n＝k（x－m），可变形为y＝kx－（km－n） ∴直线MN的方程可写成y＝kx－［（a＋b＋c）k－2d］/4，经变形整理，得：y－d/2＝k［x－（a＋b＋c）/4］这就表明直线MN过点（（a＋b＋c）/4，d/2）。 ∵a、b、c、d都是定值，∴平分梯形面积的直线PQ过定点（（a＋b＋c）/4，d/2）。这正是两底中点连线的中点。证明完毕。

梯形ABCD中AB平行CD,在AB、CD各有一动点P、Q,PQ连线平分梯形面积,求证：PQ必过一定点设有直角梯形ABCD,在两平行边AB和DC上分别有两动点P和Q,直线PQ2等分梯形面积,求证 PQ必过一定点设一个定直角梯形ABCD,DA⊥AB,在两平行边AB,DC上有两个动点P、Q在直线PQ平分梯形的面积,求证：PQ必须过一直角梯形ABCD中,OA平行BC,OA⊥OC,在OA,BC边上分别有两点P,Q.PQ平分该梯形面积,求证；直线PQ必过定怎样平分梯形面积?ABCD是梯形,AB和CD平行过点O作一条直线,要求平分梯形面积,O在梯形外梯形ABCD中,AB//CD,角abc=90度,AB=8,CD=6,BC=4,AB上有一动点P,连接DP,作PQ垂直DP 如图所示,梯形ABCD中,AD平分BC,点P是AB的中点,过点P作AD的平行线交于DC于点Q.1、PQ与BC平行吗?2、如图在梯形ABCD中,AD‖BC,AB=6,BC=8,CD=4,AD=2,点P、Q分别在AB、DC上,且PQ‖BC 已知梯形ABCD中,AD平行BC,AB=CD=6,BC=13.P是BC上的一个动点,∠APQ=∠B,射线PQ交CD或CD 在等腰梯形ABCD中,AD平行BC,AB=DC,点P为BC上一点,PE垂直AB,PF垂直CD,BG垂直CD.求证:PE+ 在平行四边形ABCD中,点P在BC上,PQ平行于BD交CD于Q,则和三角形ABP面积相等的三角形有如图所示,梯形ABCD中,AD平行BC,P是AB的中点,过P点作AD的平行线交DC于Q点（1）PQ与BC平行吗?为什么