已知直线L过点P(2,1)且与x,y轴的正半轴分别交于点A,B,求:
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/30 20:55:28
已知直线L过点P(2,1)且与x,y轴的正半轴分别交于点A,B,求:
1、当│OA││OB│最小时L的方程
1、当│OA││OB│最小时L的方程
解法1.设此直线方程为x/a+y/b=1,(a,b都是正数)
直线过p(2,1),2/a+1/b=1,得b=a/(a-2),a≠2,
设t=│OA││OB│=a*b=a*a/(a-2),即t=a²/(a-2),
因为a≠2,所以a²-ta+2t=0,a是实数,
⊿=t²-8t≥0,因为t>0,可得S≥8.
即t的最小值是8,
此时有a=4,b=2,
直线L方程为x/4+y/2=1,即x+2y-4=0.
解法2.设此直线方程为 y-1=k(x-2),k<0.
得A((2k-1)/k,0),B(0,-(2k-1)),
t=│OA││OB│=| (2k-1)/k*【-(2k-1)】|
=| (4k²+1-4k)/k|
=| 4k+1/k-4|,
因为k<0,-4k-1/k>0,
由均值不等式,-4k-1/k≥2√(-4k)(-1/k)=4,
4k+/k-4≤ -8,t≤ |-8|=8,
当且仅当-4k=-1/k,即k=-1/2 (k<0)时t有最小值8.
故直线方程为 y-1=-1/2(x-2),
即x+2y-4=0.
直线过p(2,1),2/a+1/b=1,得b=a/(a-2),a≠2,
设t=│OA││OB│=a*b=a*a/(a-2),即t=a²/(a-2),
因为a≠2,所以a²-ta+2t=0,a是实数,
⊿=t²-8t≥0,因为t>0,可得S≥8.
即t的最小值是8,
此时有a=4,b=2,
直线L方程为x/4+y/2=1,即x+2y-4=0.
解法2.设此直线方程为 y-1=k(x-2),k<0.
得A((2k-1)/k,0),B(0,-(2k-1)),
t=│OA││OB│=| (2k-1)/k*【-(2k-1)】|
=| (4k²+1-4k)/k|
=| 4k+1/k-4|,
因为k<0,-4k-1/k>0,
由均值不等式,-4k-1/k≥2√(-4k)(-1/k)=4,
4k+/k-4≤ -8,t≤ |-8|=8,
当且仅当-4k=-1/k,即k=-1/2 (k<0)时t有最小值8.
故直线方程为 y-1=-1/2(x-2),
即x+2y-4=0.
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