已知x,y,z∈R+,且x+y+z=3,求证:x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(x^2+z^2+zx)+z^2
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/30 21:39:20
已知x,y,z∈R+,且x+y+z=3,求证:x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(x^2+z^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy)≥1
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这个题不错,比较巧.
首先有均值不等式有yz≤(y^2+z^2)/2,zx≤(z^2+x^2)/2,xy≤(x^2+y^2)/2
所以,x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy)≥2[x^2/(y^2+z^2)+y^2/(z^2+x^2)+z^2/(x^2+y^2)]/3
分析可知x^2/(y^2+z^2)=(x^2+y^2+z^2)/(y^2+z^2)-1,同理y^2/(z^2+x^2)=(x^2+y^2+z^2)/(z^2+x^2)-1,z^2/(x^2+y^2)=(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2)-1
代入上面不等式右端化简有:
x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy)
≥2{(x^2+y^2+z^2)[1/(y^2+z^2)+1/(z^2+x^2)+1/(x^2+y^2)]-3}/3
=[(y^2+z^2)+(z^2+x^2)+(x^2+y^2)]*[1/(y^2+z^2)+1/(z^2+x^2)+1/(x^2+y^2)]/3-2
≥(1+1+1)^2/3-2=9/3-2=1
当且仅当x=y=z=1时取“=”,得证.
本题既用了均值,又用了构造,还用了柯西(这都是最后一步了),此命题比较容易放缩过量,不能一来就找柯西.感觉有点儿像高中数学竞赛题.如果要弄竞赛的话,建议看看Schur不等式,那个很是王道,大学本科都不要求的,但对于高中数学竞赛专治各种不服,CMO都适用.
首先有均值不等式有yz≤(y^2+z^2)/2,zx≤(z^2+x^2)/2,xy≤(x^2+y^2)/2
所以,x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy)≥2[x^2/(y^2+z^2)+y^2/(z^2+x^2)+z^2/(x^2+y^2)]/3
分析可知x^2/(y^2+z^2)=(x^2+y^2+z^2)/(y^2+z^2)-1,同理y^2/(z^2+x^2)=(x^2+y^2+z^2)/(z^2+x^2)-1,z^2/(x^2+y^2)=(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2)-1
代入上面不等式右端化简有:
x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy)
≥2{(x^2+y^2+z^2)[1/(y^2+z^2)+1/(z^2+x^2)+1/(x^2+y^2)]-3}/3
=[(y^2+z^2)+(z^2+x^2)+(x^2+y^2)]*[1/(y^2+z^2)+1/(z^2+x^2)+1/(x^2+y^2)]/3-2
≥(1+1+1)^2/3-2=9/3-2=1
当且仅当x=y=z=1时取“=”,得证.
本题既用了均值,又用了构造,还用了柯西(这都是最后一步了),此命题比较容易放缩过量,不能一来就找柯西.感觉有点儿像高中数学竞赛题.如果要弄竞赛的话,建议看看Schur不等式,那个很是王道,大学本科都不要求的,但对于高中数学竞赛专治各种不服,CMO都适用.
已知x,y,z∈R+,且x+y+z=3,求证:x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(x^2+z^2+zx)+z^2
化简x^2-yz/[x^2-(y+z)x+yz]+y^2-zx/[y^2-(z+x)y+zx]+z^2-xy/[z^2-
已知三个数x,y,z,满足xy/x+y=-2,yz/y+z=4/3,zx/z+x=-4/3,求(xyz)/(xy+yz+
已知xy/x+y=3,yz/y+z=2,zx/z+x=1,求y的值
证明 (x+y+z)^2>3(xy+yz+zx)
(x-3y+z)^2+/ 5x-4y+z/=0 且xyz≠0 xy+yz+zx/x^2+y^2+z^2
若x/3=y/2=z/5,且xy+yz+zx=93,求9x*x+12y*y+2z*z的值.
如果实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)=8,用A表示|x-y|,|y-z|,|z-x|中的最
已知x+y+z=3y=2z,y不等于0求xy+yz+zx/x的平方+y的平方+z的平方的值
已知x-y=5,z-y=10,X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX
一道数学题,已知x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=2,问xy+yz+zx,x^3+y^3+z^3
已知x+y+z=1,x2+y2+z2=2,x3+y3+z3=3,求xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)的值