已知椭圆c1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,其中F2也是抛物线C2:y^2=4x的
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/14 00:02:13
已知椭圆c1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,其中F2也是抛物线C2:y^2=4x的焦点,...
已知椭圆c1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,其中F2也是抛物线C2:y^2=4x的焦点,离心率e=√2/2,求椭圆标准方程.2过点A(2,0)且不垂直于坐标轴的直线和椭圆交于P、Q两点,其中Q在p,A之间,证明:∠QF2A=∠PF2F1.
已知椭圆c1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,其中F2也是抛物线C2:y^2=4x的焦点,离心率e=√2/2,求椭圆标准方程.2过点A(2,0)且不垂直于坐标轴的直线和椭圆交于P、Q两点,其中Q在p,A之间,证明:∠QF2A=∠PF2F1.
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(1)F2也是抛物线C2:y^2=4x的焦点,F2(1,0) ,所以 c=1
e=c/a=√2/2 所以a=√2
椭圆方程是:x^2/2+y^2=1
(2)由对称性,不妨只看直线PQ在x轴上方的情形
设直线为y=k(x-2) P(x1,y1) Q(x2,y2)
联立得到:(1+2k^2)x^2-8k^2x+8k^2-1=0
由韦达定理可得:
x1+x2=8k^2/(1+2k^2)
x1x2=(8k^2-2)/(1+2k^2)
要证∠QF2A=∠PF2F1
即证tan∠QF2A=tan∠PF2F1
由图看出,即证y2/(x2-1)=y1/(1-x1)
即证k(x2-2)/(x2-1)=k(x1-2)/(1-x1)
即证(x2-2)(1-x1)-(x1-2)(x2-1)=0
即证-2x1x2+3(x1+x2)-4=0
韦达定理代入得到:
(-2)*(8k^2-2)/(1+2k^2)+3*8k^2/(1+2k^2)-4
=(-16k^2+4+24k^2-8k^2-4)/(1+2k^2)=0
也就得证
e=c/a=√2/2 所以a=√2
椭圆方程是:x^2/2+y^2=1
(2)由对称性,不妨只看直线PQ在x轴上方的情形
设直线为y=k(x-2) P(x1,y1) Q(x2,y2)
联立得到:(1+2k^2)x^2-8k^2x+8k^2-1=0
由韦达定理可得:
x1+x2=8k^2/(1+2k^2)
x1x2=(8k^2-2)/(1+2k^2)
要证∠QF2A=∠PF2F1
即证tan∠QF2A=tan∠PF2F1
由图看出,即证y2/(x2-1)=y1/(1-x1)
即证k(x2-2)/(x2-1)=k(x1-2)/(1-x1)
即证(x2-2)(1-x1)-(x1-2)(x2-1)=0
即证-2x1x2+3(x1+x2)-4=0
韦达定理代入得到:
(-2)*(8k^2-2)/(1+2k^2)+3*8k^2/(1+2k^2)-4
=(-16k^2+4+24k^2-8k^2-4)/(1+2k^2)=0
也就得证
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