证明在定义在[a,正无穷）的连续函数符合罗尔定理,即罗尔定理的推广

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/16 01:49:05

证明在定义在[a,正无穷）的连续函数符合罗尔定理,即罗尔定理的推广
函数f(x)在（a,正无穷）可导,且lim(x→+a)f(x)=A,lim(x→正无穷）=A,证明存在ζ∈（a,正无穷）,使得f '(ζ)=0.
（顺便问一下:f(x)在（a,正无穷）可导,且lim(x→+a)f(x)=A这2个条件能不能推出f(x)在[a,正无穷）连续,且f(a)=A?）

证明：
在(a,+∞)任意取一点x=M.
（1）若f(M)＝A.
f(x)在[a,M]上满足罗尔定理的条件.
（2）若f(M)＝B ≠ A,不妨设B>A.
根据连续性,必存在x＝M1∈(a,M),有f(M1)＝(B+A)/2
由于lim f(x)＝A,根据极限的定义容易证明必
存在x＝M2∈(M,+∞),有f(M2)＝(B+A)/2.
即f(x)在[M1,M2]上满足罗尔定理的条件.
附加的问题是不成立的.
只能得出在(a,+∞)上连续的结论,不能得出f(a)＝A的结论,
显然f(a)为任意值都不会和前提条件矛盾.

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