百度作业网隐函数存在定理1的一些疑惑
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/17 18:19:04
隐函数存在定理1的一些疑惑
设函数F（x,y）在点P（x0,y0）的某一邻域内具有连续偏导数,且F（x0,y0）=0；Fy（x0,y0）≠0,则方程F（x,y）=0在点（x0,y0）的某一邻域内有恒定能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=F（x）（等价于FZ≠0）,它满足条件y0=f（x0）,并有 dy/dx=-Fx/Fy,这就是隐函数的求导公式.
如果将函数的条件改成函数F(X,Y)在点P（X0 Y0)可微 这个公式是否依然成立
设函数F（x,y）在点P（x0,y0）的某一邻域内具有连续偏导数,且F（x0,y0）=0；Fy（x0,y0）≠0,则方程F（x,y）=0在点（x0,y0）的某一邻域内有恒定能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=F（x）（等价于FZ≠0）,它满足条件y0=f（x0）,并有 dy/dx=-Fx/Fy,这就是隐函数的求导公式.
如果将函数的条件改成函数F(X,Y)在点P（X0 Y0)可微 这个公式是否依然成立
你是指F（x0,y0）=0；Fy（x0,y0）≠0两个条件保留?
再问： 恩 对
再答： 是这样：一元函数的“导数极限定理”（或导数的介值定理、Darboux 定理）应该可以推广到多元函数上（尽管相应的结论将不那么好描述而且不那么好用），这样可微函数的偏导函数的性态虽然不一定连续，但也不会差到不成样子。至于可微函数的偏导函数将会well-behave到什么程度，你可以去问问贵校专攻函数论和泛函分析的老师。 那么，这个相对well-behave的偏导函数将很有希望给我们带来如下结论：Fy（x，y）在（x0，y0）的某个邻域同号。如果那样，这将对我们推出隐函数定理的结论是十分有利的，因为我们将可以直接对F用介值定理（固定x）解出y。进而不难得到y对x的连续性。 然而不得不说，我们并没有一个完整的证明，也没有一个很好的反例（至少我手头这两样东西都没有）。因此，我无法给你一个确切的答案。 如果想要对这个问题深入的了解（例如偏导函数well-behave的程度是否足以保证Fy（x，y）在（x0，y0）的某个邻域同号？是否足够然我们进一步解出y？能否保证解出的y对x连续？），请问贵校专攻函数论和泛函分析的老师。 不过还要提醒一句：数学上并不是每个看似简单的问题都有答案，它们或许很难被解决，或许虽然很容易解决但没人愿意去解决。我要说这一点是因为在我印象中我曾向老师问过这个问题。 你的这种思维方式不适合学习工科数学，倒适合学习理科数学。
再问： 恩 对
再答： 是这样：一元函数的“导数极限定理”（或导数的介值定理、Darboux 定理）应该可以推广到多元函数上（尽管相应的结论将不那么好描述而且不那么好用），这样可微函数的偏导函数的性态虽然不一定连续，但也不会差到不成样子。至于可微函数的偏导函数将会well-behave到什么程度，你可以去问问贵校专攻函数论和泛函分析的老师。 那么，这个相对well-behave的偏导函数将很有希望给我们带来如下结论：Fy（x，y）在（x0，y0）的某个邻域同号。如果那样，这将对我们推出隐函数定理的结论是十分有利的，因为我们将可以直接对F用介值定理（固定x）解出y。进而不难得到y对x的连续性。 然而不得不说，我们并没有一个完整的证明，也没有一个很好的反例（至少我手头这两样东西都没有）。因此，我无法给你一个确切的答案。 如果想要对这个问题深入的了解（例如偏导函数well-behave的程度是否足以保证Fy（x，y）在（x0，y0）的某个邻域同号？是否足够然我们进一步解出y？能否保证解出的y对x连续？），请问贵校专攻函数论和泛函分析的老师。 不过还要提醒一句：数学上并不是每个看似简单的问题都有答案，它们或许很难被解决，或许虽然很容易解决但没人愿意去解决。我要说这一点是因为在我印象中我曾向老师问过这个问题。 你的这种思维方式不适合学习工科数学，倒适合学习理科数学。