已知y=f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,恒有2f(x)+f(-x)+2x=0成立,
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/13 20:53:01
已知y=f(x)的定义域为R,且对任意的实数x,恒有2f(x)+f(-x)+2x=0成立,
(1)试求f(x)的解析式;
(2)试讨论f(x)在R上的单调性,并用定义予以证明.
(1)试求f(x)的解析式;
(2)试讨论f(x)在R上的单调性,并用定义予以证明.
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(1)由2f(x)+f(-x)+2x=0①,
得2f(-x)+f(x)+2-x=0②,
联立①②可解得f(x)=
1
3(2−x−2x+1),
∴f(x)=
1
3(2−x−2x+1);
(2)f(x)为R上的减函数,证明如下:
任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
1
3(2−x1−2x1+1)-
1
3(2−x2−2x2+1)
=
1
3[(
1
2x1−
1
2x2)+2(2x2−2x1)]
=
1
3(2x2−2x1)(
1
2x1+x2+2),
又x10,
1
2x1+x2+2>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在定义域R上单调递减.
得2f(-x)+f(x)+2-x=0②,
联立①②可解得f(x)=
1
3(2−x−2x+1),
∴f(x)=
1
3(2−x−2x+1);
(2)f(x)为R上的减函数,证明如下:
任取x1,x2∈R,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
1
3(2−x1−2x1+1)-
1
3(2−x2−2x2+1)
=
1
3[(
1
2x1−
1
2x2)+2(2x2−2x1)]
=
1
3(2x2−2x1)(
1
2x1+x2+2),
又x10,
1
2x1+x2+2>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在定义域R上单调递减.
已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意实数x恒有2f(x)+f(-x)+2^x=0成立,
已知函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,恒有f(x)+2f(-x)+2x=3x的平方成立.
设函数的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f
设函数的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且当x>
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y) =f(x)f(y)且f(x)>0,f(2)=9
已知函数y=f(x)的定义域为R,当x1,且对任意的实数x,y(x,y属于R),等式f(x)*f(y)=f(x+y)成立
已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x大于0时,f(x)小于0.
设函数的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(1/2)=1,且当
定义域为R的函数f(x)满足:对于任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且当x>0时,f(x)
设函数y=f(x)的定义域为(0,+无穷大),且对任意的正实数x,y,均有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(
已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且对任意x>0都有f(x)<0
已知函数y是在定义域R上的不恒为0的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(x+1)f(x),则f【f(5/2)】的