设函数的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且当x>
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/09 08:42:26
设函数的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0
(1)求f(1),f(1/2)的值
(2)证明f(x)在(0,+∞)上单调递增
(3)一个各项均为正数的数列{an},满足f(Sn)=f(an)+f[(an)+1]-1,n∈N+,求{an}通项公式
(1)求f(1),f(1/2)的值
(2)证明f(x)在(0,+∞)上单调递增
(3)一个各项均为正数的数列{an},满足f(Sn)=f(an)+f[(an)+1]-1,n∈N+,求{an}通项公式
(1)
令x=y=1,则可得f(1)=0
再令x=2,y=1/2,得f(1)=f(2)+f(1/2)=1+f(1/2)=0
∴f(1/2)=-1
(2)
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)+f(x2/x1)=f(x2)
即f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)
∵x2/x1>1
故f(x2/x1)>0
即f(x2)>f(x1)
故f(x)在(0,+∞)上单调递增
(3)
由f(Sn)+1=f(an)+f[a(n+1)]
∴f(Sn)+f(2)=f(an)+f[a(n+1)]
∴2Sn=an•a(n+1),当n≥2时.
∴2S(n-1)=a(n-1)•an,两式相减得:2an=an²+an-a(n-1)²-a(n-1)
∴[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0(n≥2)
∴an-a(n-1)=1(n≥2)
∴an=n
令x=y=1,则可得f(1)=0
再令x=2,y=1/2,得f(1)=f(2)+f(1/2)=1+f(1/2)=0
∴f(1/2)=-1
(2)
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)+f(x2/x1)=f(x2)
即f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)
∵x2/x1>1
故f(x2/x1)>0
即f(x2)>f(x1)
故f(x)在(0,+∞)上单调递增
(3)
由f(Sn)+1=f(an)+f[a(n+1)]
∴f(Sn)+f(2)=f(an)+f[a(n+1)]
∴2Sn=an•a(n+1),当n≥2时.
∴2S(n-1)=a(n-1)•an,两式相减得:2an=an²+an-a(n-1)²-a(n-1)
∴[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0(n≥2)
∴an-a(n-1)=1(n≥2)
∴an=n
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