数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n+2nSn(n=1,2,3,…).证明:
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/30 22:52:45
数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=
n+2 |
n |
![数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n+2nSn(n=1,2,3,…).证明:](/uploads/image/z/1588441-49-1.jpg?t=%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8C%E8%AE%B0%E4%B8%BASn%EF%BC%8C%E5%B7%B2%E7%9F%A5a1%3D1%EF%BC%8Can%2B1%3Dn%2B2nSn%EF%BC%88n%3D1%EF%BC%8C2%EF%BC%8C3%EF%BC%8C%E2%80%A6%EF%BC%89%EF%BC%8E%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A)
(I)证:由a1=1,an+1=
n+2
nSn(n=1,2,3,),
知a2=
2+1
1S1=3a1,
S2
2=
4a1
2=2,
S1
1=1,∴
S2
2
S1
1=2
又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3,…),则Sn+1-Sn=
n+2
nSn(n=1,2,3,),
∴nSn+1=2(n+1)Sn,
Sn+1
n+1
Sn
n=2(n=1,2,3,…),
故数列{
Sn
n}是首项为1,公比为2的等比数列.
(II)证明:Sn+1=4an.当n=1时,S2=a1+a2=4a1,等式成立.
由(1)知:
Sn
n=1×2n−1,∴Sn=n2n-1
当n≥2时,4an=4(Sn-Sn-1)=2n(2n-n+1)=(n+1)2n=Sn+1,等式成立.
因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an.
n+2
nSn(n=1,2,3,),
知a2=
2+1
1S1=3a1,
S2
2=
4a1
2=2,
S1
1=1,∴
S2
2
S1
1=2
又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3,…),则Sn+1-Sn=
n+2
nSn(n=1,2,3,),
∴nSn+1=2(n+1)Sn,
Sn+1
n+1
Sn
n=2(n=1,2,3,…),
故数列{
Sn
n}是首项为1,公比为2的等比数列.
(II)证明:Sn+1=4an.当n=1时,S2=a1+a2=4a1,等式成立.
由(1)知:
Sn
n=1×2n−1,∴Sn=n2n-1
当n≥2时,4an=4(Sn-Sn-1)=2n(2n-n+1)=(n+1)2n=Sn+1,等式成立.
因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an.
数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n+2nSn(n=1,2,3,…).证明:
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=n+2nSn(n≥1,n∈N*).
数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,a(n+1)=n+2/nSn(n=1,2,3.),证明(1)数列{Sn/n
设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=5,且nSn+1=2n(n+1)+(n+1)Sn
数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2,Sn+1=Sn-2nSn+1Sn,求an
an的前n项和Sn,a1=1,an+1=(n+2)/nSn,证数列Sn/n是等比数列和Sn+1=4an
数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,an+1=(n+2)/nSn.求证:(1)数列{Sn/n}是等比数列(2)Sn+
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=n²+cn
数列An的前n项和为Sn,已知A1=1,An+1=Sn*(n+2)/n,证明数列Sn/n是等比数列
数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,A(n+1)=n+2/nSn(n=1,2,3,4.),求证
设数列an前n项和Sn已知a1=a2=1 bn=nSn+(n+2)an数列bn公差为d的等差数列n属于N...
已知数列an的前n项和为sn,若a1=1,nsn+1-(n+1)sn=n*n+cn(c是整数,n=1,2,3...)且s