百度作业网平面上有有限个红点,不全在一条直线上,证明：存在一条直线,恰好只过其中两个点.
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/12 10:22:18
平面上有有限个红点,不全在一条直线上,证明：存在一条直线,恰好只过其中两个点.
证明:此题被称为Sylvester问题.
这平面上的有限个点的集合记为$P$,其个数为$n$.因为$P$中的点不在同一直线上,所以$n\ge 3$.由于$n$有限,所以通过$P$中点中两个点或两个以上点的直线必为有限条,所有这些直线构成的集合记为$L$.对于$L$中每条直线,其外必有$P$中的一些点.因此集合$R=\{(p,l)|l\in L,p\not\in l,p\in P\}$不为空,且元素个数有限.记$d^*=\min\{\mathrm{dist}(p,l)|(x,l)\in R\}$,相应的点和直线分别为$p^*$和$l^*$(如果有多组则任取一组),其中$\mathrm{dist}(p,l)$ 表示点$p$到直线$l$的距离.如果$l^*$恰好经过$P$中的两点,那么结论得证.否则,从点$p^*$向直线$l^*$引垂线,垂足记为$p_1$.根据抽屉原则,直线$l^*$ 上在$p_1$的某一侧必含有$P$中的两个点,按离$p_1$的距离由小到大依次记为$p_2$和$p_3$($p_1$和$p_2$可能重合).则有
\begin{align*}
\mathrm{dist}(p_2,p^*p_3)\leq\mathrm{dist}(p_1,p^*p_3)
这平面上的有限个点的集合记为$P$,其个数为$n$.因为$P$中的点不在同一直线上,所以$n\ge 3$.由于$n$有限,所以通过$P$中点中两个点或两个以上点的直线必为有限条,所有这些直线构成的集合记为$L$.对于$L$中每条直线,其外必有$P$中的一些点.因此集合$R=\{(p,l)|l\in L,p\not\in l,p\in P\}$不为空,且元素个数有限.记$d^*=\min\{\mathrm{dist}(p,l)|(x,l)\in R\}$,相应的点和直线分别为$p^*$和$l^*$(如果有多组则任取一组),其中$\mathrm{dist}(p,l)$ 表示点$p$到直线$l$的距离.如果$l^*$恰好经过$P$中的两点,那么结论得证.否则,从点$p^*$向直线$l^*$引垂线,垂足记为$p_1$.根据抽屉原则,直线$l^*$ 上在$p_1$的某一侧必含有$P$中的两个点,按离$p_1$的距离由小到大依次记为$p_2$和$p_3$($p_1$和$p_2$可能重合).则有
\begin{align*}
\mathrm{dist}(p_2,p^*p_3)\leq\mathrm{dist}(p_1,p^*p_3)
平面上有10个点（其中没有任何三个点在一条直线上）,经过每两个点画一条直线,共可以画多少条直线?
平面上有四个点,过每两个点一条直线,一共可以画几条直线.
若平面上有任意三点在不同一条直线上的几个点,过每两个点画一条直线,一共可以画几条射线?
平面上有六个点,其中仅有3点在同一条直线上,过每两点做一条直线,共可作直线几条?
平面上有4点,它们不在一条直线上,但有3个点在同一直线上,问过其中3个点作圆,可以作出几个圆
平面内有5点,其中仅有3个点在同一条直线上,如果过每2点作一条直线,共可做几条直线?
平面上有10个点,其中只有3个点在一条直线上,其余任三个点均不在一条直线上,这其中两个点做直线,总共
平面上有8个点（其中没有任何三个点在一条直线上）,过这些点最多可以画几条直线?
有四个点,每三个点都不在一条直线上.过其中每两个点画直线,可以画几条直线.
平面上有的六个点,其中任何三个点都不在一条直线上,则过其中任意两个点画直线,一共可以画直线最多是多少
平面上共有1994个点,其中有1000个红点,其余为蓝点,且任意3点都不共线,证明：此平面上存在一条直线l,它的两侧各有
平面上有n点,过其中每两点画出一条直线,可以画直线的条数为