两道高数题1. f（x）是分段函数,当x不等于0时,f（x）＝x^a*sin（1/x）,当x＝0时,f（x）＝0,问a满

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/15 22:00:45

两道高数题
1. f（x）是分段函数,当x不等于0时,f（x）＝x^a*sin（1/x）,当x＝0时,f（x）＝0,问a满足什么条件,f（x）在x＝0处,（1）连续,（2）可导,（3）导数连续?
2.求n趋向于无穷时（1＋x^n+(x^2/2)^n）^1/n(x>=0)的极限
请写明过程,谢谢各位～
第一题的第二小题：如果函数在某个点存在导数，那么应该他的左导数和右导数相等，这样的话就会算出来a大于1且a应该为偶数～我这样想哪里有错吗？

无需讨论左右导数,因为x＞0和x＜0的对应法则是一样的.另外分段函数在分段点处的导数一般最好用定义求.你的疑惑恐怕是因为你使用了求导法则了.f(x)在x＝0处可导时,f(x)在x＝0的附近一定可导?
1、若f(x)在x＝0处连续,则lim(x→0)f(x)＝lim(x→0) x^a*sin(1/x)＝f(0)＝0.只有当a＞0时,此极限是无穷小与有界函数的乘积,极限才是0.所以a＞0时,f(x)在x＝0处连续.
若f(x)在x＝0处可导,则lim(x→0) [f(x)－f(0)]/x＝lim(x→0) x^(a-1)*sin(1/x)存在.只有当a－1＞0时,此极限是无穷小与有界函数的乘积,极限方可存在.所以a＞1时,f(x)在x＝0处可导,且导数为0.
若f(x)在x＝0处导数连续,则首先a＞1,f'(0)＝0.x≠0时,f'(x)＝x^(a-1)*sin(1/x)－x^(a-2)*cos(1/x).f(x)在x＝0处导数连续,则lim(x→0) f'(x)＝lim(x→0)[x^(a-1)*sin(1/x)－x^(a-2)*cos(1/x)]＝f'(0)＝0.所以a-1＞0,a-2＞0,得a＞2.所以a＞2时,f(x)在x＝0处导数连续.
2、记An＝1＋x^n+(x^2/2)^n（注意常数a对应的数列a^(1/n)的极限是1）.思路是使用夹逼定理,比较1、x、x^2/2的大小关系.
x＝0时,极限是1
0＜x≤1时,1≤An＜3,所以极限是1
1＜x≤2时,x^n＜An≤3×x^n,所以极限是x
x＞2时,(x^2/2)^n＜An≤3×(x^2/2)^n,所以极限是x^2/2

设函数f(x)=sin(1/x)*（x^n） (x不等于0时) f(x)=0(x=0时) 问当n满足什么条件时,f(x) 设分段函数f(x)={(x^a)sin[1/(x^b)],x不等于0.0,x=0.} 当a,b取何值时,f(x)在x=0 设分段函数f(x) 当x或=0时 f(x)=x^3+a,在x=0处连续,则a等于（）已知分段函数f（x）,当x＜0时,f（x）=2x 当x≥0时,f（x）=x² 若f（a f(x)是分段函数,当x不等于0时,f(x)=sin方x/x;当x=0时,f(x)=0,求dy/dx,x=0时, 已知函数f(x)=loga（1+x)/(1-x)(a>0且a不等于1）,求其定义域判断奇偶性,当a>1时,f(x)>0, 已知函数f(x)=1/2x^2+a/x（a≠0）,1.当x=1时,函数y=f(x)取极小值 2.求函数y＝f(x)的单调已知函数f（x）＝lnx-ax-3（a不等于0）.当a＝1时,求函数f（x）的单调递增区间比已知函数f（x），x∈R是偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[0，2]时，f（x）=1-x，则方程f(x)＝1 已知a>0且a不等于1,f(x)=(1/x)-a^x,当x属于(1/2,正无穷）时,均有f(x) 极限导数已知当x不等于0时,f（x）=(x^2)*sin(1/x),当x=0时,f(x)=0,则f(x)在x=0处—— 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f(x)＝12x，则使f(x)＝−