百度作业网设A与B都是n阶方阵.证明:如果AB=O,那么 秩A+秩B≤n.
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/17 18:06:20
设A与B都是n阶方阵.证明:如果AB=O,那么 秩A+秩B≤n.
n阶矩阵乘积的秩有不等式
r(AB) ≥ r(A)+r(B)-n
AB = 0, 即有r(AB) = 0, 代入即得.
还有一种想法, B的列向量都是线性方程组AX = 0的解.
于是AX = 0解空间的维数n-r(A)应该 ≥ B的列秩r(B).
于是r(A)+r(B) ≤ n.
再问： 不太明白，如何证明这道题？
再答： r(A)表示A的秩. 如果学过不等式r(A)+r(B)-n ≤ r(AB)就直接写 ∵AB = 0, ∴r(A)+r(B)-n ≤ r(AB) = 0, ∴r(A)+r(B) ≤ n. 如果没学过, 就用下面的方法: ∵AB = 0, ∴B的列向量都是线性方程组AX = 0的解. 而AX = 0的基础解系有n-r(A)个向量, B的列向量被它们线性表出. ∴r(B) ≤ n-r(A), ∴r(A)+r(B) ≤ n.
r(AB) ≥ r(A)+r(B)-n
AB = 0, 即有r(AB) = 0, 代入即得.
还有一种想法, B的列向量都是线性方程组AX = 0的解.
于是AX = 0解空间的维数n-r(A)应该 ≥ B的列秩r(B).
于是r(A)+r(B) ≤ n.
再问： 不太明白，如何证明这道题？
再答： r(A)表示A的秩. 如果学过不等式r(A)+r(B)-n ≤ r(AB)就直接写 ∵AB = 0, ∴r(A)+r(B)-n ≤ r(AB) = 0, ∴r(A)+r(B) ≤ n. 如果没学过, 就用下面的方法: ∵AB = 0, ∴B的列向量都是线性方程组AX = 0的解. 而AX = 0的基础解系有n-r(A)个向量, B的列向量被它们线性表出. ∴r(B) ≤ n-r(A), ∴r(A)+r(B) ≤ n.
设A与B都是n阶方阵.证明:如果AB=O,那么 秩A+秩B≤n.
一道高等代数的问题,设A与B都是n阶方阵.证明:如果AB = O,那么秩A + 秩B ≤ n .
设A与B皆为n阶方阵,证明,如果AB=0那么秩A=秩B
线性代数设A`B都是n阶方阵,证明若AB=O则r(A)+r(B)
设A,B都是n阶方阵,且|A|不等于0,证明AB与BA相似.
方阵性质证明问题设AB为n阶方阵,证明|AB|=|A||B|
简单的线性代数证明设A和B都是n阶方阵,且A可逆,证明AB与BA相似.
设A B都是n阶正交方阵,证明：
设A、B都是n阶矩阵,且AB=O,证明R(A)+R(B)
设A，B都是n阶方阵，且|A|≠0，证明AB与BA相似．
设A,B是n阶方阵,满足AB=A-B,证明AB=BA
线性代数问题求教：设A,B都是n阶方阵,如果AB=O,则A,B行列式的值是都为0还是只有一个为0?