设点P(x,y)(x≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M(1,0)的距离比点P到直
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/18 17:08:37
设点P(x,y)(x≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M(1,0)的距离比点P到直线x=-2的距离小1,过点M的直线l与点P的轨迹方程交于A、B两点.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)是否存在直线l,使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点?若存在,请求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
(III)求证:S△OAB=S△OAM•|BM|.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)是否存在直线l,使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点?若存在,请求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
(III)求证:S△OAB=S△OAM•|BM|.
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(Ⅰ)∵点P到定点M(1,0)的距离比点P(x,y)(x≥0)到直线x=-2的距离小1,
∴由抛物线的定义,可得点P的轨迹方程为y2=4x;
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,由题设可知直线l的方程是x=1,与抛物线方程联立,可得A(1,2),B(1,-2),不满足
OA•
OB=0;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程,可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴x1+x2=
2k2+4
k2,x1x2=1
∴y1y2=-4,∴x1x2+y1y2=-3≠0,不满足
OA•
OB=0
∴不存在直线l,使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点;
(III)证明:∵S△OAB=
1
2•|OM|•|y1−y2|=
1
2|y1−y2|=
|k(x1−x2)|
2
S△OAM•|BM|=
1
2•|OM|•|y1|•(x2+1)=
1
2•|k(x1−1)|•(x2+1)=
|k(x1x2+x1−x2−1)|
2
|k(x1−x
∴由抛物线的定义,可得点P的轨迹方程为y2=4x;
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,由题设可知直线l的方程是x=1,与抛物线方程联立,可得A(1,2),B(1,-2),不满足
OA•
OB=0;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程,可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),
∴x1+x2=
2k2+4
k2,x1x2=1
∴y1y2=-4,∴x1x2+y1y2=-3≠0,不满足
OA•
OB=0
∴不存在直线l,使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点;
(III)证明:∵S△OAB=
1
2•|OM|•|y1−y2|=
1
2|y1−y2|=
|k(x1−x2)|
2
S△OAM•|BM|=
1
2•|OM|•|y1|•(x2+1)=
1
2•|k(x1−1)|•(x2+1)=
|k(x1x2+x1−x2−1)|
2
|k(x1−x
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