1．在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点F(0, 1 4 )的距离比点P到x轴的距离大 1 4 ,设动点P的轨迹为曲线

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/06 20:31:51

1．在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点F(0, 1 4 )的距离比点P到x轴的距离大 1 4 ,设动点P的轨迹为曲线C
1．在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点F(0,1|4 ）
)的距离比点P到x轴的距离大1|4 ,设动点P的轨迹为曲线C,直线l：y=kx+1交曲线C于A,B两点,M是线段AB的中点,过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）证明：曲线C在点N处的切线与AB平行；

i)由题,不妨设P(x,y),则有　　√[x²+(y-1/4)²]=lyl+1/4　　两边平方,有　　x²+(y-1/4)²=y²+1/2·lyl+1/16
　　即x²-1/2(y+lyl)=0　　若y≥0,有　　y=x²　　若y＜0,有　　x²=0　　即x=0(y轴负半轴)

　　ii)证明:易知L与y轴负半轴无交点　　设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),N(x0,y?)　　将y=kx+1带入y=x²,有　　x²-kx-1=0　　由韦达定理,有　　x1+x2=k,x1x2=-1　　∴x0=k/2　　将x0=k/2带入y=x²,有y=k²/4　　对C在点N处的斜率进行讨论,显然斜率存在(题目不严密,应指X轴上半部分曲线的切线)　　不妨设该切线:y-k²/4=m(x-k/2),即y=mx-mk/2+k²/4,带入y=x²,有　　x²-mx+mk/2-k²/4=0　　由相切,有　　△=m²-2mk+k²=(m-k)²=0　　∴m=k　　即L与切线平行　　原命题得证.