设曲线积分∫ L[f（t）-ex]sinydx-f（x）cosydy与路径无关，其中f（x）具有一阶连续导数，

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/31 03:59:22

设曲线积分

∫

令P（x，y）=[f（t）-e^x]siny，Q（x，y）=-f（x）cosy
根据曲线积分与路径无关，有：

∂P(x，y)
∂y=
∂Q(x，y)
∂x
又：
∂P(x，y)
∂y=
∂
∂y[f（t）-e^x]siny
=[f（x）-e^x]cosy

∂Q(x，y)
∂x=
∂
∂x-f（x）cosy
=-f'（x）cosy
∴[f（x）-e^x]cosy=-f'（x）cosy
既有：f（x）-e^x=-f'（x）
即：f（x）+f'（x）=e^x
该方程一阶线性非齐次微分方程，先求通解．
其对应的齐次方程为：
f（x）+f'（x）=0
即有：
df(x)
f(x)=-dx；
解得：f（x）=Ce^-x
令特解为：f^*（x）=Ae^x
代入方程：f（x）+f'（x）=e^x
解得：A=
1
2
∴特解为：f^*（x）=
1
2e^x
于是：f（x）=
1
2e^x+Ce^-x
又有：f（0）=0；
f（0）=
1
2+C=0
∴C=-
1
2；
∴f（x）=
1
2e^x-
1
2e^-x=
ex−e−x
2；
故本题选：B．
再问： ʮ�ָ�л��Ľ��

设函数f(x)具有一阶连续导数且f(0)=0 若曲线积分∫[f(x)-e^x]sinydx-f(x)cosydy与路径已知曲线积分 ∫L2xyf(x)dx+[f(x)+x^2]dy的值与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数,且f(0)= 设函数f(x)具有连续导数,且曲线积分 ∫(sinx-f(x))y/xdx+f(x)dy与路径无关,f(派)=1,则f( 二元函数全微分的问题设[f(x)-e^x]sinydx-f(x)cosydy是一个二元函数的全微分,f(x)具有一阶连续设Q（x,y）在xoy平面上有一阶连续偏导数,曲线积分∫L 2xydx+Q（x,y）与路径无关,对任意t恒有设f(x)二阶连续可微,且使曲线积分∫[f(x)+x]ydx+[f'(x)+sinx]dy与路径无关,求函数f(x) 设曲线y=f(x)在原点与X轴相切,函数f（x）具有连续的二阶导数,且x≠0时,f的一阶导数不等于0,证明该曲线在原点处设f具有一阶连续偏导数,求u = f（xy,x+y）的偏导数∂u/∂x,∂u/ 设函数f（x）在R上具有一阶连续导数，L是上半平面（y＞0）内的有向分段光滑曲线，起点为（a，b），终点为（c，d）．记设f（x）有一阶连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，F（x）=∫x0(x 设y＝f（x）具有连续的一阶导数,已知f（2）＝1,f’（2）＝e 已知y=f(x^2),其中f(x)具有一阶连续导数,求dy/dx.