设f(x)有一阶连续导数,f(0)=0,f′(0)≠0,F(x)=∫x0(x
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/14 08:55:12
设f(x)有一阶连续导数,f(0)=0,f′(0)≠0,F(x)=
(x
∫ | x 0 |
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因为F(x)=
∫x0(x2−t2)f(t)dt=x2
∫x0f(t)dt-
∫x0t2f(t)dt,
利用积分上限函数的求导公式可得,
F′(x)=2x
∫x0f(t)dt+x2f(x)−x2f(x)=2x
∫x0f(t)dt.
因为f(x)有一阶连续导数,f(0)=0,f′(0)≠0,
所以f(x)为x的同阶无穷小,
且
lim
x→0
f(x)
x=
lim
x→0
f(x)−f(0)
x−0=f′(0).
从而,
∫x0f(t)dt为x2的同阶无穷小,
f(x)=2x
∫x0f(t)dt为x3的同阶无穷小,
即:k=3.
∫x0(x2−t2)f(t)dt=x2
∫x0f(t)dt-
∫x0t2f(t)dt,
利用积分上限函数的求导公式可得,
F′(x)=2x
∫x0f(t)dt+x2f(x)−x2f(x)=2x
∫x0f(t)dt.
因为f(x)有一阶连续导数,f(0)=0,f′(0)≠0,
所以f(x)为x的同阶无穷小,
且
lim
x→0
f(x)
x=
lim
x→0
f(x)−f(0)
x−0=f′(0).
从而,
∫x0f(t)dt为x2的同阶无穷小,
f(x)=2x
∫x0f(t)dt为x3的同阶无穷小,
即:k=3.
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