百度作业网设a,b,c为正实数,且abc=1,证明：见图片
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/07 13:06:54
设a,b,c为正实数,且abc=1,证明：见图片
先作代换 a=x^2/yz, b=y^2/zx, c=z^2/xy,等价于
∑xyz/(xyz+y^3+z^3)≤∑yz/(2yz+x^2)
x/∑x-xyz/(xyz+y^3+z^3)=x(y+z)*(y-z)^2/[(xyz+y^3+z^3)∑x]
两边取和为
P=1-∑xyz/(xyz+y^3+z^3)=∑x(y+z)*(y-z)^2/[(xyz+y^3+z^3)∑x]
x(y+z)/∑yz-[xy/(2xy+z^2)-xz/(2zx+y^2)]
=[x(y^2+z^2+3yz)-yz(y+z)]*(y-z)^2/[∑yz(2xy+z^2)(2zx+y^2)]
两边取和为
Q=1-∑[xy/(2xy+z^2)-xz/(2zx+y^2)]=∑[x(y^2+z^2+3yz)-yz(y+z)]*(y-z)^2/[∑yz(2xy+z^2)(2zx+y^2)]
只需证明Q≥P即可.
去分母得
左边=(1+a+c)(1+a+b)+(1+b+c)(1+a+b)+(1+b+c)(1+a+c)
=3+4∑a+∑(a^2)+3∑ab
右边=(1+b+c)(1+a+b)(1+a+c)
=3+2∑a+∑(a^2)+3∑ab+∑ab(a+b)
欲证左边小于等于右边
只需证2∑a≤∑ab(a+b)=∑(a+b)/c
即2(a+b+c)≤(a+b)/c+(b+c)/a+(a+c)/b
即3≤(a+b+c)/c+(a+b+c)/a+(a+b+c)/b-2(a+b+c)
(a+b+c)/c+(a+b+c)/a+(a+b+c)/b-2(a+b+c)
=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c-2)
≥3*(3-2)=3(两个括号里分别用均值不等式）
Σ是求和懂吧.
∑xyz/(xyz+y^3+z^3)≤∑yz/(2yz+x^2)
x/∑x-xyz/(xyz+y^3+z^3)=x(y+z)*(y-z)^2/[(xyz+y^3+z^3)∑x]
两边取和为
P=1-∑xyz/(xyz+y^3+z^3)=∑x(y+z)*(y-z)^2/[(xyz+y^3+z^3)∑x]
x(y+z)/∑yz-[xy/(2xy+z^2)-xz/(2zx+y^2)]
=[x(y^2+z^2+3yz)-yz(y+z)]*(y-z)^2/[∑yz(2xy+z^2)(2zx+y^2)]
两边取和为
Q=1-∑[xy/(2xy+z^2)-xz/(2zx+y^2)]=∑[x(y^2+z^2+3yz)-yz(y+z)]*(y-z)^2/[∑yz(2xy+z^2)(2zx+y^2)]
只需证明Q≥P即可.
去分母得
左边=(1+a+c)(1+a+b)+(1+b+c)(1+a+b)+(1+b+c)(1+a+c)
=3+4∑a+∑(a^2)+3∑ab
右边=(1+b+c)(1+a+b)(1+a+c)
=3+2∑a+∑(a^2)+3∑ab+∑ab(a+b)
欲证左边小于等于右边
只需证2∑a≤∑ab(a+b)=∑(a+b)/c
即2(a+b+c)≤(a+b)/c+(b+c)/a+(a+c)/b
即3≤(a+b+c)/c+(a+b+c)/a+(a+b+c)/b-2(a+b+c)
(a+b+c)/c+(a+b+c)/a+(a+b+c)/b-2(a+b+c)
=(a+b+c)(1/a+1/b+1/c-2)
≥3*(3-2)=3(两个括号里分别用均值不等式）
Σ是求和懂吧.
设a,b,c为正实数,且abc=1,证明：见图片
设a,b,c是正实数,且(a+1)(b+1)(c+1)=8,证明abc≤1
设abc为正实数,且1/a +9/b=1,则使a +b 大于等于C恒成立c的取值范围?
设abc为正实数,且1/a 9/b=1,则使a b 大于等于C恒成立c的取值范围?
设a,b,c为正实数,并且满足abc=1
设abc为正实数,求证:a+b+c
已知a,b,c为不等正实数,切abc=1 证明：根号a+根号b+根号c
有关不等式证明的1.a,b,c,d都是正实数,且a+b+c+d=1,证明abc+abd+acd+bcd《1/162.a,
高一数学~~设a.b.c为实数,且a+b+c=-1,证明关于x的方程
设实数a,b,c满足a≤b≤c,且a^2+b^2+c ^2=9.证明abc+1＞3a
设a,b,c均为正实数,且3的a次方=4的b次方=6的c次方,证明1/c=1/a+1/2b
设abc都是正实数,证明a/b+c+b/a+c+c/a+b大于等于3/2