百度作业网用导数、微分或中值定理证明
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/13 10:22:52
用导数、微分或中值定理证明
如果f(x)在实数集内满足f'(x)=f(x),且f(0)=1,证明：f(x)=e^x.
不要用积分做
罗尔定理：如果f(a)=f(b) (a
如果f(x)在实数集内满足f'(x)=f(x),且f(0)=1,证明：f(x)=e^x.
不要用积分做
罗尔定理：如果f(a)=f(b) (a
{f'(x)/f(x)=1
两边积分可得
ln|f(x)|=x+C
f(x)=e^C*e^x
又f(0)=1
所以e^C=1
f(x)=e^x}
这个容易
因为
【ln|f(x)|】'=f'(x)/f(x)=1
所以由中值定理,存在x0属于（0,x）或（x,0）使得
ln|f(x)|-ln|f(0)|=【ln|f(x0)|】'(x-0)
即ln|f(x)|=x
f(x)=e^x或-e^x
但f(0)=1
故
f(x)=e^x
两边积分可得
ln|f(x)|=x+C
f(x)=e^C*e^x
又f(0)=1
所以e^C=1
f(x)=e^x}
这个容易
因为
【ln|f(x)|】'=f'(x)/f(x)=1
所以由中值定理,存在x0属于（0,x）或（x,0）使得
ln|f(x)|-ln|f(0)|=【ln|f(x0)|】'(x-0)
即ln|f(x)|=x
f(x)=e^x或-e^x
但f(0)=1
故
f(x)=e^x