(2014•南昌一模)已知函数f(x)=ax-bxlnx,其图象经过点(1,1),且在点(e,f(e))处的切线斜率为3
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/07/22 21:56:49
(2014•南昌一模)已知函数f(x)=ax-bxlnx,其图象经过点(1,1),且在点(e,f(e))处的切线斜率为3(e为自然对数的底数).
(1)求实数a、b的值;
(2)若k∈Z,且k<
(1)求实数a、b的值;
(2)若k∈Z,且k<
f(x) |
x−1 |
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(1)∵f(1)=1,
∴a=1,
∵f(x)=x-bxlnx,
∴f'(x)=1-b(1+lnx),
依题意f'(e)=1-b(1+lne)=3,
∴b=-1,
(2)由(1)知:f(x)=x+xlnx
当x>1时,设g(x)=
f(x)
x−1=
x+xlnx
x−1,
则g′(x)=
x−2−lnx
(x−1)2
设h(x)=x-2-lnx,
则h′(x)=1−
1
x>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数
∵h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4>0,
∴存在x0∈(3,4),使h(x0)=0,
当x∈(1,x0)时,h(x)<0,g'(x)<0,即g(x)在(1,x0)上为减函数;
同理g(x)在(x0,+∞)上为增函数,从而g(x)的最小值为g(x0)=
x0+x0lnx0
x0−1=x0,
∴k<x0∈(3,4),k的最大值为3,
(3)由(2)知,当x>1时,
f(x)
x−1>3,
∴f(x)>3x-3,
即x+xlnx>3x-3,
xlnx>2x-3
∴2ln2+3ln3+…+nlnn>(2×2-3)+(2×3-3)+…+(2n-3)=2(2+3+…+n)-3(n-1)=2×
(n−1)
2(2+n)−3n+3=n2-2n+1=(n-1)2.
∴a=1,
∵f(x)=x-bxlnx,
∴f'(x)=1-b(1+lnx),
依题意f'(e)=1-b(1+lne)=3,
∴b=-1,
(2)由(1)知:f(x)=x+xlnx
当x>1时,设g(x)=
f(x)
x−1=
x+xlnx
x−1,
则g′(x)=
x−2−lnx
(x−1)2
设h(x)=x-2-lnx,
则h′(x)=1−
1
x>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数
∵h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4>0,
∴存在x0∈(3,4),使h(x0)=0,
当x∈(1,x0)时,h(x)<0,g'(x)<0,即g(x)在(1,x0)上为减函数;
同理g(x)在(x0,+∞)上为增函数,从而g(x)的最小值为g(x0)=
x0+x0lnx0
x0−1=x0,
∴k<x0∈(3,4),k的最大值为3,
(3)由(2)知,当x>1时,
f(x)
x−1>3,
∴f(x)>3x-3,
即x+xlnx>3x-3,
xlnx>2x-3
∴2ln2+3ln3+…+nlnn>(2×2-3)+(2×3-3)+…+(2n-3)=2(2+3+…+n)-3(n-1)=2×
(n−1)
2(2+n)−3n+3=n2-2n+1=(n-1)2.
已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3
已知函数f(x)=ax+xlnx,且图象在点(1e,f(1e))处的切线斜率为自然对数的底数.
已知函数f(x)=(ax^2+bx+c)e^x.在x=1处取得极小值,其图象过点A(0,1)0且在点A处切线的斜率为-1
已知函数f(x)=axlnx−bx(x>0,x≠1)的图象经过点(e,−1e),且f(x)在x=e处的切线与x轴平行.
函数 F(X)=x^3+ax^2+bx(a,b为R《全体实数》)的图象经过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.
已知函数f(x)-ax+xlnx的图像在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若函数
已知函数F(X)=aX+XLNX的图象的点X=E(E为自然对数的底数)处的切线斜率为3
已知函数f(x)=e的x次方(ax+b)的图像在点p(0.f(0))处的切线方程y=3x+1(e为自然对数的底数) (1
设函数f(x)=ax+4/x,曲线y=f(x)在点p(1,a ,+4)处切线的斜率为-3,求
已知曲线y=f(x)过点(0,1)在其任意一点(x,y)切线的斜率为2x+3e^x,那么f(x)=
已知函数f(x)=ax的4次方+bx的2次方+c的图象经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求f(x..
若f(x)=ex+lnx,则此函数的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为______.