在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= -1/6x2+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/14 01:29:31
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y= -1/6x2+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上一动点,M是线段AP中点,将线段MP绕点P顺时针旋转90度得线段PB。过点B作x轴的垂线,两直线相交于点D。
2)当t为何值时,点D落在抛物线上。
3)是否存在t,使得以A、B、D为顶点的三角形与三角形AOP相似?若存在,求出此时t的值。
4)连接AC,在点P运动过程中,若以BP为直径的圆与直线AC相切,求此时t的值。
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(1)∵抛物线y=-16x2+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),
∴c=4-16×64+8b+c=0,
解得b=56c=4.
故所求b,c的值分别为56,4;
(2)∵∠AOP=∠PEB=90°,∠OAP=∠EPB=90°-∠APO,
∴△AOP∽△PEB且相似比为AOPE=APPB=2,
∵AO=4,
∴PE=2,OE=OP+PE=t+2,
又∵DE=OA=4,
∴点D的坐标为(t+2,4),
∴点D落在抛物线上时,有-16(t+2)2+56(t+2)+4=4,
解得t=3或t=-2,
∵t>0,
∴t=3.
故当t为3时,点D落在抛物线上;
(3)存在t,能够使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似,理由如下:
①当0<t<8时,如图1.
若△POA∽△ADB,则PO:AD=AO:BD,
即t:(t+2)=4:(4-12t),
整理,得t2+16=0,
∴t无解;
若△POA∽△BDA,同理,解得t=-2±25(负值舍去);
②当t>8时,如图3.
若△POA∽△ADB,则PO:AD=AO:BD,
即t:(t+2)=4:(12t-4),
解得t=8±45(负值舍去);
若△POA∽△BDA,同理,解得t无解;
综上可知,当t=-2+25或8+45时,以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似;
(4)如图2.∵A(0,4),C(8,0),
∴AC的解析式为y=-12x+4.
设BP的中点为N,由P(t,0),B(t+2,t2),可得N(t+1,t4),AP=16+t2.
过点N作FN∥AC交y轴于点F,过点F作FH⊥AC于点H,
设直线FN的解析式为y=-12x+m,将N(t+1,t4)代入,
可得-12(t+1)+m=t4,即m=3t4+12.
由△AFH∽△ACO,可得AFAC=FHCO,
∵AF=4-m,
∴4-m45=FH8,
∴FH=2×4-m5,
当以PB为直径的圆与直线AC相切时,FH=12BP=14AP,2×4-m5=1416+t2,
将m=3t4+12代入,整理得:31t2-336t+704=0,
解得:t=8,t=8831.
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∴c=4-16×64+8b+c=0,
解得b=56c=4.
故所求b,c的值分别为56,4;
(2)∵∠AOP=∠PEB=90°,∠OAP=∠EPB=90°-∠APO,
∴△AOP∽△PEB且相似比为AOPE=APPB=2,
∵AO=4,
∴PE=2,OE=OP+PE=t+2,
又∵DE=OA=4,
∴点D的坐标为(t+2,4),
∴点D落在抛物线上时,有-16(t+2)2+56(t+2)+4=4,
解得t=3或t=-2,
∵t>0,
∴t=3.
故当t为3时,点D落在抛物线上;
(3)存在t,能够使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似,理由如下:
①当0<t<8时,如图1.
若△POA∽△ADB,则PO:AD=AO:BD,
即t:(t+2)=4:(4-12t),
整理,得t2+16=0,
∴t无解;
若△POA∽△BDA,同理,解得t=-2±25(负值舍去);
②当t>8时,如图3.
若△POA∽△ADB,则PO:AD=AO:BD,
即t:(t+2)=4:(12t-4),
解得t=8±45(负值舍去);
若△POA∽△BDA,同理,解得t无解;
综上可知,当t=-2+25或8+45时,以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似;
(4)如图2.∵A(0,4),C(8,0),
∴AC的解析式为y=-12x+4.
设BP的中点为N,由P(t,0),B(t+2,t2),可得N(t+1,t4),AP=16+t2.
过点N作FN∥AC交y轴于点F,过点F作FH⊥AC于点H,
设直线FN的解析式为y=-12x+m,将N(t+1,t4)代入,
可得-12(t+1)+m=t4,即m=3t4+12.
由△AFH∽△ACO,可得AFAC=FHCO,
∵AF=4-m,
∴4-m45=FH8,
∴FH=2×4-m5,
当以PB为直径的圆与直线AC相切时,FH=12BP=14AP,2×4-m5=1416+t2,
将m=3t4+12代入,整理得:31t2-336t+704=0,
解得:t=8,t=8831.
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