请问非零实矩阵的行列式大于0怎么证明?

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/20 05:55:01

请问非零实矩阵的行列式大于0怎么证明?

这个命题是不正确的.当然也就不能证明了.
举一反例吧
例如2阶矩阵
A=
0 1
0 1
这是一个二阶非零矩阵,但其行列式是等于0的.
再问：好吧其实这是一个题目中我挖一段出来的，可能不太准确，问题整个让您看看吧：设n大于2，A为非零的n阶实矩阵满足A=（A*）T ,其中A*味矩阵A的伴随矩阵，证明：A为正交矩阵。
再答：因为矩阵是一个非零矩阵，所以A至少有一个元素不为零，为证明方便，不妨设某a11不为0. 因为A=A*^T,所以aij=Aij, 其中Aij是aij的代数余子式，将行列式|A|按第一行展开，得 |A|=a11A11+a12A12+...+a1nA1n =a11a11+a12a12+...+a1na1n>0. A=A*^T, 意味着也有A*=A^T,于是 AA^T=AA*=|A|E, 取行列式得｜A |^2=|AA*|=| |A|E|=|A|^n 所以|A|^2(|A|^(n-2)-1)=0, 因为|A|不为0，所以必有|A|^(n-2)-1=0, 所以|A|=1. 于是AA^T=|A|E=E. 这说明矩阵A是一正交矩阵.
再问：因为矩阵是一个非零矩阵，所以A至少有一个元素不为零，为证明方便，不妨设某a11不为0. 因为A=A*^T,所以aij=Aij, 其中Aij是aij的代数余子式，将行列式|A|按第一行展开，得 |A|=a11A11+a12A12+...+a1nA1n =a11a11+a12a12+...+a1na1n>0. A=A*^T,所以aij=Aij 这段不太懂
再答： (只要有一个元素不为0，那么这个矩阵就是一个非零矩阵。)

因为A=A*^T,所以aij=Aij, 其中Aij是aij的代数余子式，
(矩阵A的第i 行的元素的代数余子式位于A*的第i 列,也就是位于A*的第i 行,A等于A*的转置，那么不就说明了aij=Aij吗？) 稍等一下，这个地方我给你传一张图片.

因为矩阵是一个非零矩阵，所以A至少有一个元素不为零，不妨设a11不为0.

（当然你也可以设其它某一个元素akl不为0，只是下面的计算要按第k行展开）
将行列式|A|按第一行展开，得|A|=a11A11+a12A12+...+a1nA1n=a11a11+a12a12+...+a1na1n>0. （这是第一行元素的平方和，而a11不为零，当然|A|就大于0了.）

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