求证A是n阶正定矩阵,则存在 唯一的正定矩阵B,使A=B^2 我会存在性,这里求证唯一性
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/07 21:02:49
求证A是n阶正定矩阵,则存在 唯一的正定矩阵B,使A=B^2 我会存在性,这里求证唯一性
如果存在另外的正定矩阵C,满足A=C^2,下面证明B=C.
B和C都是正定矩阵,所以都可以完美对角化,都有对应特征值和特征向量.
因为B^2=A,所以B特征值的平方对应A的特征值,相应的特征向量对应A的相应特征向量.
因为C^2=A,所以C特征值的平方对应A的特征值,相应的特征向量对应A的相应特征向量.
因为B和C都正定,所以B特征值实际上都等于C特征值(都是A特征值的正平方根),且特征向量集也完全相等.
设A某特征值lamda对应特征向量v,则Bv=sqrt(lamda)v,Cv=sqrt(lamda)v,sqrt是平方根的意思.
BCv=B*sqrt(lamda)v=sqrt(lamda)*Bv=sqrt(lamda)*sqrt(lamda)v=lamda*v.
CBv=C*sqrt(lamda)v=sqrt(lamda)*Cv=sqrt(lamda)*sqrt(lamda)v=lamda*v.
所以(BC-CB)v=0,这个v可以取所有A的特征向量.
因为A正定,所以所有特征向量集v的线性最大无关数是满空间的,所以实际上(BC-CB)v=0就意味着(BC-CB)u=0(其中u是随便取的),这样的话,只可能BC-CB=0了.
因为BC=CB,所以(B-C)(B+C)=B^2+BC-CB-C^2=0,
因为B和C正定,故B+C也正定,意味着不可逆且满秩,所以只能B-C=0了.
B和C都是正定矩阵,所以都可以完美对角化,都有对应特征值和特征向量.
因为B^2=A,所以B特征值的平方对应A的特征值,相应的特征向量对应A的相应特征向量.
因为C^2=A,所以C特征值的平方对应A的特征值,相应的特征向量对应A的相应特征向量.
因为B和C都正定,所以B特征值实际上都等于C特征值(都是A特征值的正平方根),且特征向量集也完全相等.
设A某特征值lamda对应特征向量v,则Bv=sqrt(lamda)v,Cv=sqrt(lamda)v,sqrt是平方根的意思.
BCv=B*sqrt(lamda)v=sqrt(lamda)*Bv=sqrt(lamda)*sqrt(lamda)v=lamda*v.
CBv=C*sqrt(lamda)v=sqrt(lamda)*Cv=sqrt(lamda)*sqrt(lamda)v=lamda*v.
所以(BC-CB)v=0,这个v可以取所有A的特征向量.
因为A正定,所以所有特征向量集v的线性最大无关数是满空间的,所以实际上(BC-CB)v=0就意味着(BC-CB)u=0(其中u是随便取的),这样的话,只可能BC-CB=0了.
因为BC=CB,所以(B-C)(B+C)=B^2+BC-CB-C^2=0,
因为B和C正定,故B+C也正定,意味着不可逆且满秩,所以只能B-C=0了.
求证A是n阶正定矩阵,则存在 唯一的正定矩阵B,使A=B^2 我会存在性,这里求证唯一性
证明若A是n阶正定矩阵,则存在n阶正定矩阵B,使A=B^2
证明若A是n阶正定矩阵,则存在 n阶正定矩阵B,使得A=B^2
求证,多谢! A、B是n阶实对称正定矩阵,求证:若A-B正定,则B的逆矩阵-A的逆矩阵正定
已知A和B为正定矩阵,|xA-B|有唯一解等于1,求证A=B.
有关正定矩阵的问题设A为n阶对称矩阵,证明:A满秩的充要条件是存在实矩阵B,使AB+B-TA为正定矩阵.
设AB均是n阶实对称矩阵,其中A正定,证明存在实数t使tA+B是正定矩阵
关于正定矩阵的 急设A为n阶实对称矩阵 证明 B=I+A的平方 为正定矩阵设A为n阶正定矩阵,AB为是对称矩阵,则AB为
设A,B分别是n,m阶实对称矩阵,且B是正定矩阵.证明,存在m*n非零矩阵H,使B-HAH'成为正定矩阵.
A秩为r的n阶实对称矩阵证A是半正定矩阵充要条件是存在r行n列的秩为r的实矩阵B,使A=B'B
设A,B均是n阶正定矩阵,证明A+B是正定矩阵
A,B都为n阶正定矩阵,证明:AB是正定矩阵的充分必要条件是AB=BA.