高数啦.求微积分方程的通解.
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/13 12:30:18
高数啦.求微积分方程的通解.
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/bd/9bdefcc3821c2a0deb94be23304a5338.jpg)
能看见的两题.第一题叫微积分方程,第二题叫微分方程.不是说y`等同于dy/dx吗?
还有求通解,通解.
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能看见的两题.第一题叫微积分方程,第二题叫微分方程.不是说y`等同于dy/dx吗?
还有求通解,通解.
![高数啦.求微积分方程的通解.](/uploads/image/z/2906674-34-4.jpg?t=%E9%AB%98%E6%95%B0%E5%95%A6.%E6%B1%82%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E9%80%9A%E8%A7%A3.)
1.求微分方程(1+x²)y'=arctanx的通解
(1+x²)(dy/dx)=arctanx,分离变量得:
dy=[(arctanx)/(1+x²)]dx
积分之,即得通解为:y=∫[(arctanx)/(1+x²)]dx=∫(arctanx)d(arctanx)=(1/2)(arctanx)²+C
2.求微分方程dy/dx-2y/(x+1)=(x+1)^(3/2)的通解.
先求齐次方程dy/dx-2y/(x+1)=0的通
dy/dx=2y/(x+1);分离变量得dy/y=2dx/(x+1);
积分之得lny=2ln(x+1)+lnC₁=ln[C₁(x+1)²];
故得y=C₁(x+1)²;
将C₁换成x的函数u,得y=u(x+1)².(1);
将(1)得两边对x取导数得:dy/dx=2u(x+1)+(x+1)²(du/dx).(2);
将(1)和(2)代入原方程得:
2u(x+1)+(x+1)²(du/dx)-2u(x+1)=(x+1)^(3/2)
化简得(x+1)²(du/dx)=(x+1)^(3/2)
化简并分离变量得du=dx/√(1+x);积分之得u=∫dx/√(x+1)=∫d(x+1)/√(x+1)=2√(x+1)+C.(3)
将(3)代入(1)式即得通解为:y=[2√(x+1)+C](x+1)²=2(x+1)^(5/2)+C(x+1)².
【所谓“微积分方程”在只有微分的情况下就是微分方程,只有积分的情况下叫积分方程;又有
微分,又有积分时才叫微积分方程.你这两个方程里,只有微分,故都是微分方程.】
再问: 第一题不是叫微积分方程吗?
再答: 微积分方程是微分方程,积分方程的总称、俗称,你不必去细究这些词儿。
(1+x²)(dy/dx)=arctanx,分离变量得:
dy=[(arctanx)/(1+x²)]dx
积分之,即得通解为:y=∫[(arctanx)/(1+x²)]dx=∫(arctanx)d(arctanx)=(1/2)(arctanx)²+C
2.求微分方程dy/dx-2y/(x+1)=(x+1)^(3/2)的通解.
先求齐次方程dy/dx-2y/(x+1)=0的通
dy/dx=2y/(x+1);分离变量得dy/y=2dx/(x+1);
积分之得lny=2ln(x+1)+lnC₁=ln[C₁(x+1)²];
故得y=C₁(x+1)²;
将C₁换成x的函数u,得y=u(x+1)².(1);
将(1)得两边对x取导数得:dy/dx=2u(x+1)+(x+1)²(du/dx).(2);
将(1)和(2)代入原方程得:
2u(x+1)+(x+1)²(du/dx)-2u(x+1)=(x+1)^(3/2)
化简得(x+1)²(du/dx)=(x+1)^(3/2)
化简并分离变量得du=dx/√(1+x);积分之得u=∫dx/√(x+1)=∫d(x+1)/√(x+1)=2√(x+1)+C.(3)
将(3)代入(1)式即得通解为:y=[2√(x+1)+C](x+1)²=2(x+1)^(5/2)+C(x+1)².
【所谓“微积分方程”在只有微分的情况下就是微分方程,只有积分的情况下叫积分方程;又有
微分,又有积分时才叫微积分方程.你这两个方程里,只有微分,故都是微分方程.】
再问: 第一题不是叫微积分方程吗?
再答: 微积分方程是微分方程,积分方程的总称、俗称,你不必去细究这些词儿。