如图,已知抛物线 (b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/11 19:49:08
如图,已知抛物线 ![]() ![]() (1)点B的坐标为 ,点C的坐标为 (用含b的代数式表示); (2)若b=8,请你在抛物线上找点P,使得△PAC是直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)请你探索,在(1)的结论下,在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. |
![如图,已知抛物线 (b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C](/uploads/image/z/3060719-71-9.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF+%EF%BC%88b%E6%98%AF%E5%AE%9E%E6%95%B0%E4%B8%94b%26gt%3B2%EF%BC%89%E4%B8%8Ex%E8%BD%B4%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%8D%8A%E8%BD%B4%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9A%E3%80%81B%EF%BC%88%E7%82%B9A%E4%BD%8D%E4%BA%8E%E7%82%B9B%E7%9A%84%E5%B7%A6%E4%BE%A7%EF%BC%89%EF%BC%8C%E4%B8%8Ey%E8%BD%B4%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%8D%8A%E8%BD%B4%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9C)
(1)B(b,0),C(0,
);
(2)当∠CAP=90°时,P(10,4.5);当∠ACP=90°时,P(11,7.5)
(3)(1,4),
试题分析:(1)令y=0,解关于x的一元二次方程即可求出A,B横坐标,令x=0,求出y的值即C的纵坐标;
(2)先求出b=8时点B、点C的坐标,再分∠PAC=90°与∠PCA=90°两种情况分析即可;
(3)存在,假设存在这样的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似,有条件可知:要使△QOA与△QAB相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴;要使△QOA与△OQC相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°;再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可.
(1)在
中,当y=0时,x=1或b,
∵b是实数且b>2,点A位于点B的左侧,
∴点B的坐标为(b,0),
当x=0时,y=
∴点C的坐标为(0,
);
当b=8时点B、点C的坐标分别为B(8,0),C(0,2),二次函数关系式为
设直线AC的解析式为
∵图象过点A(1,0),C(0,2)
∴
,解得
∴直线AC的解析式为
当∠CAP=90°时,设直线AP的解析式为
∵图象过点A(1,0)
∴
,
∴直线AP的解析式为
联立
与
解得
,即此时点P坐标为(10,4.5);
当∠ACP=90°时,设直线AP的解析式为
∵图象过点C(0,2)
∴直线AP的解析式为
联立
与
解得
,即此时点P坐标为(11,7.5);
(3)假设存在这样的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO,
∴∠QAB>∠AOQ,∠QAB>∠AQO.
∴要使△QOA与△QAB相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴.
∵b>2,
∴AB>OA,
∴∠Q0A>∠ABQ.
∴只能∠AOQ=∠AQB.此时∠OQB=90°,
由QA⊥x轴知QA∥y轴.
∴∠COQ=∠OQA.
∴要使△QOA与△OQC相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°.
(I)当∠OCQ=90°时,△CQO≌△QOA.
∴AQ=CO=
.
由AQ 2 =OA•AB得:(
) 2 =b-1.
解得:b=8±4
.
∵b>2,
∴b=8+4
.
∴点Q的坐标是(1,2+
).
(II)当∠OQC=90°时,△OCQ∽△QOA,
∴
,即OQ 2 =OC•AQ.
又OQ 2 =OA•OB,
∴OC•AQ=OA•OB.即
•AQ=1×b.
解得:AQ=4,此时b=17>2符合题意,
∴点Q的坐标是(1,4).
∴综上可知,存在点Q(1,2+
)或Q(1,4),使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.
点评:二次函数的综合题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大.
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/ed/0edcabd2dbd50b3a446639dd0bcb20c5.jpg)
(2)当∠CAP=90°时,P(10,4.5);当∠ACP=90°时,P(11,7.5)
(3)(1,4),
![](http://img.wesiedu.com/upload/8/00/8005377f377edf8d1208e6c763af1bd5.jpg)
试题分析:(1)令y=0,解关于x的一元二次方程即可求出A,B横坐标,令x=0,求出y的值即C的纵坐标;
(2)先求出b=8时点B、点C的坐标,再分∠PAC=90°与∠PCA=90°两种情况分析即可;
(3)存在,假设存在这样的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似,有条件可知:要使△QOA与△QAB相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴;要使△QOA与△OQC相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°;再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可.
(1)在
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/70/e70d526d45b96abecf44ddfff35a3ddb.jpg)
∵b是实数且b>2,点A位于点B的左侧,
∴点B的坐标为(b,0),
当x=0时,y=
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/ed/0edcabd2dbd50b3a446639dd0bcb20c5.jpg)
∴点C的坐标为(0,
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/ed/0edcabd2dbd50b3a446639dd0bcb20c5.jpg)
当b=8时点B、点C的坐标分别为B(8,0),C(0,2),二次函数关系式为
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/da/edad65ae785ee4256af4f50cd8bffe6c.jpg)
设直线AC的解析式为
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/43/c4302962548c914f5f5f2efa534ed308.jpg)
∵图象过点A(1,0),C(0,2)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/09/c0954959f6b0a5e458aa6ccce7717504.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/f6/2f69d7902996bfd3590d6390db6edde0.jpg)
∴直线AC的解析式为
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/d2/bd2892b0daf8403b855c8dd88fea887e.jpg)
当∠CAP=90°时,设直线AP的解析式为
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/dc/4dc79f4b64389c88218df2d9e55e2ea6.jpg)
∵图象过点A(1,0)
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/e4/ce467228e25f05c5a4da21e142436d73.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/8d/68d8f9121d3af89c391cf9e07e72fd62.jpg)
∴直线AP的解析式为
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/13/b1355601b27fdc9bae5c9a1ca8bf6464.jpg)
联立
![](http://img.wesiedu.com/upload/b/13/b1355601b27fdc9bae5c9a1ca8bf6464.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/da/edad65ae785ee4256af4f50cd8bffe6c.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/2/67/267643d1f2d3d3241a248644688cdaf2.jpg)
当∠ACP=90°时,设直线AP的解析式为
![](http://img.wesiedu.com/upload/4/dc/4dc79f4b64389c88218df2d9e55e2ea6.jpg)
∵图象过点C(0,2)
∴直线AP的解析式为
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/34/c34ab871733795c2b1cfcc71b7058687.jpg)
联立
![](http://img.wesiedu.com/upload/c/34/c34ab871733795c2b1cfcc71b7058687.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/e/da/edad65ae785ee4256af4f50cd8bffe6c.jpg)
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/aa/0aa6e137721bfa5a86286a30d155fff9.jpg)
(3)假设存在这样的点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO,
∴∠QAB>∠AOQ,∠QAB>∠AQO.
∴要使△QOA与△QAB相似,只能∠QAO=∠BAQ=90°,即QA⊥x轴.
∵b>2,
∴AB>OA,
∴∠Q0A>∠ABQ.
∴只能∠AOQ=∠AQB.此时∠OQB=90°,
由QA⊥x轴知QA∥y轴.
∴∠COQ=∠OQA.
∴要使△QOA与△OQC相似,只能∠QCO=90°或∠OQC=90°.
(I)当∠OCQ=90°时,△CQO≌△QOA.
∴AQ=CO=
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/ed/0edcabd2dbd50b3a446639dd0bcb20c5.jpg)
由AQ 2 =OA•AB得:(
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/ed/0edcabd2dbd50b3a446639dd0bcb20c5.jpg)
解得:b=8±4
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/44/6440ec3cc5bcdea561813aa2d751d030.jpg)
∵b>2,
∴b=8+4
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/44/6440ec3cc5bcdea561813aa2d751d030.jpg)
∴点Q的坐标是(1,2+
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/44/6440ec3cc5bcdea561813aa2d751d030.jpg)
(II)当∠OQC=90°时,△OCQ∽△QOA,
∴
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/e0/9e04a7a17dfe275bc9c65c4089d9544d.jpg)
又OQ 2 =OA•OB,
∴OC•AQ=OA•OB.即
![](http://img.wesiedu.com/upload/0/ed/0edcabd2dbd50b3a446639dd0bcb20c5.jpg)
解得:AQ=4,此时b=17>2符合题意,
∴点Q的坐标是(1,4).
∴综上可知,存在点Q(1,2+
![](http://img.wesiedu.com/upload/6/44/6440ec3cc5bcdea561813aa2d751d030.jpg)
点评:二次函数的综合题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大.
如图,已知抛物线 (b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C
如图,抛物线y=-x²-x+2与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,它的顶点为M
(2013•新华区一模)如图,抛物线y=-x2-x+2与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,它的顶
如图,抛物线的顶点坐标M(1,4).且过点N(2,3),于X轴交于A,B两点(点A在点B左侧).与Y轴交于点C.
如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=
如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.
如图,已知抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=2OA=4
已知,如图,抛物线Y=ax^2+3ax+c【a>0】与Y轴交于C点,与X轴交于A,B两点,A点在B点左侧 点B的坐标为【
如图已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A,B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于C点,且对称
如图,已知抛物线y=-3/4x^2+9/4x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C (1)求A,B,C
已知,如图抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧.点B的坐标为(1,0),OC=30B.
如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2