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来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/09 15:24:08
设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x2+4x+c（c为常数）．
（1）求f（x）的表达式
（2）对于任意x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，求证：|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|．
（1）求f（x）的表达式
（2）对于任意x1，x2∈[0，1]且x1≠x2，求证：|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|．
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（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称
∴f（x+1）=g（1-x）
∴f（x）=g（2-x）
当-1≤x≤0时，2≤2-x≤3，
∵当x∈[2，3]时，g（x）=-x2+4x+c（c为常数）．
∴f（x）=-（2-x）2+4（2-x）+c=-x2+c+4
当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，∴f（-x）=-x2+c+4
由于f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=x2-c-4
∴f(x)＝
−x2+c+4，(−1≤x≤0)
x2−c−4，(0＜x≤1)
（2）当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，0＜x1+x2＜2，
∴|f（x2）-f（x1）|=|
x22−
x21|=|（x2-x1）（x2+x1）|＜2|x2-x1|
∴|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|．
∴f（x+1）=g（1-x）
∴f（x）=g（2-x）
当-1≤x≤0时，2≤2-x≤3，
∵当x∈[2，3]时，g（x）=-x2+4x+c（c为常数）．
∴f（x）=-（2-x）2+4（2-x）+c=-x2+c+4
当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，∴f（-x）=-x2+c+4
由于f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=x2-c-4
∴f(x)＝
−x2+c+4，(−1≤x≤0)
x2−c−4，(0＜x≤1)
（2）当x1，x2∈[0，1]且x1≠x2时，0＜x1+x2＜2，
∴|f（x2）-f（x1）|=|
x22−
x21|=|（x2-x1）（x2+x1）|＜2|x2-x1|
∴|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|．
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