高一函数单调性设函数y=f(x),x∈R,当x>0时,f(x)>1,对任意a.b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b)
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/08 18:27:55
高一函数单调性
设函数y=f(x),x∈R,当x>0时,f(x)>1,对任意a.b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b),试证明:f(x)在R上为增函数.
设函数y=f(x),x∈R,当x>0时,f(x)>1,对任意a.b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b),试证明:f(x)在R上为增函数.
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由f(a+b)=f(a)*f(b) ①
令b=0,可得:f(a)=f(a)*f(0)
f(a)=0或f(0)=1
f(a)=0是对于任意a都成立,意味着f(x)恒等于0,由已知可知,f(x)是不恒为0的(至少在x>0时,f(x)>1≠0),∴f(a)=0不成立
于是有:f(0)=1一定成立!
设x0,由已知①式,令a=x,b=-x,有:
1=f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)
f(x)=1/f(-x)
∵-x>0,由已知“当x>0时,f(x)>1”的条件,可得:f(-x)>1
∴0
令b=0,可得:f(a)=f(a)*f(0)
f(a)=0或f(0)=1
f(a)=0是对于任意a都成立,意味着f(x)恒等于0,由已知可知,f(x)是不恒为0的(至少在x>0时,f(x)>1≠0),∴f(a)=0不成立
于是有:f(0)=1一定成立!
设x0,由已知①式,令a=x,b=-x,有:
1=f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)
f(x)=1/f(-x)
∵-x>0,由已知“当x>0时,f(x)>1”的条件,可得:f(-x)>1
∴0
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