九（1）班数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践--应用--探究的过程：

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/08/12 19:42:12

九（1）班数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践--应用--探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测量,测得一隧道的路面宽为10m,隧道顶部最高处距地面6.25m,并画出了隧道截面图,建立了如图②所示的直角坐标系,请你求出抛物线的解析式．
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时,车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全,问该隧道能否让最宽3m,5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）?
（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识,他们借助上述抛物线模型,提出了以下两个问题,
I．如图③,在抛物线内作矩形ABCD,使顶点C、D落在抛物线上,顶点A、B落在x轴　上．设矩形ABCD的周长为l求l的最大值．
II•如图④,过原点作一条y=x的直线OM,交抛物线于点M,交抛物线对称轴于点N,P　为直线0M上一动点,过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线OM上是否存在点P,使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,请求出P点的坐标；若不存在,请说明理由．

根据题意可知：抛物线的顶点坐标为(5,6.25),∴设函数解析式为y=a(x－5)2+6.25.
又抛物线经过原点（0,0）,∴0=a(0-5)2+6.25. 解得：a=－
∴函数解析式为y=－(x－5)2+6.25 （0≤x≤10）
,设并行的两车为矩形ABCD,∴AB=3×2=6,AD=3.5
∴A点横坐标为2,代入y=－(x－5)2+6.25
∴y=－(2－5)2+6.25=4＞3.5
所以该隧道能让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶
设A点横坐标为m,则AB=10-2m,D（m,）
∴矩形ABCD的周长为l=2（AD+AB）=2（10-2m+）==
∵a=－＜0,抛物线开口向下, ∴当m=1,矩形ABCD的周长l的最大值为
存在这样的点P,使得△PNQ为等腰直角三角形.
直线OM：y=x与对称轴的交点N（5,5）,与直线段PQ交于点P,显然当Q点纵坐标为5时,QN//x轴,∠ONQ=∠NOx=45°,△PQN为等腰直角三角形.
此时,5=,解得：m=5±
∴当P(5-,5-)或P(5+,5+)时,△PQN为等腰直角三角形.

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