百度作业网设x,y,z为正实数,x+y+z=1.求证:yz/x+zx/y+xy/z+9xyz>=1+x^2+y^2+z^2
来源：学生作业帮 编辑：百度作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/20 02:05:18
设x,y,z为正实数,x+y+z=1.求证:yz/x+zx/y+xy/z+9xyz>=1+x^2+y^2+z^2
x,y,z为正实数,x+y+z=1.求证:
yz/x+zx/y+xy/z+9xyz>=1+x^2+y^2+z^2 (1)
证明 (1)式等价于
y^2*z^2+z^2*x^2+x^2*y^2+9(xyz)^2≥xyz+xyz(x^2+y^2+z^2) (2)
将(2)式齐次化处理得:
(x+y+z)^2*(y^2*z^2+z^2*x^2+x^2*y^2)+9(xyz)^2≥
xyz(x+y+z)^3+xyz(x^2+y^2+z^2)*(x+y+z) (3)
(3)展开化简为
∑x^4*(y^2+z^2)+2∑y^3*z^3-2xyz∑x^3-2xyz∑x^2*(y+z)+6(xyz)^2≥0 (4)
因为(4)式是全对称式,不失一般性,设x=max(x,y,z),(4)式分解为:
4y^2*z^2*(x-y)*(x-z)+[x^4+2x^3*(y+z)+x^2*(y^2+z^2)-2xyz(y+z)+y^2*z^2]*(y-z)^2≥0
上式显然成立.证毕
yz/x+zx/y+xy/z+9xyz>=1+x^2+y^2+z^2 (1)
证明 (1)式等价于
y^2*z^2+z^2*x^2+x^2*y^2+9(xyz)^2≥xyz+xyz(x^2+y^2+z^2) (2)
将(2)式齐次化处理得:
(x+y+z)^2*(y^2*z^2+z^2*x^2+x^2*y^2)+9(xyz)^2≥
xyz(x+y+z)^3+xyz(x^2+y^2+z^2)*(x+y+z) (3)
(3)展开化简为
∑x^4*(y^2+z^2)+2∑y^3*z^3-2xyz∑x^3-2xyz∑x^2*(y+z)+6(xyz)^2≥0 (4)
因为(4)式是全对称式,不失一般性,设x=max(x,y,z),(4)式分解为:
4y^2*z^2*(x-y)*(x-z)+[x^4+2x^3*(y+z)+x^2*(y^2+z^2)-2xyz(y+z)+y^2*z^2]*(y-z)^2≥0
上式显然成立.证毕
设x,y,z为正实数,x+y+z=1.求证:yz/x+zx/y+xy/z+9xyz>=1+x^2+y^2+z^2
正实数x，y，z满足9xyz+xy+yz+zx=4，求证：
已知三个数x,y,z,满足xy/x+y=-2，yz/y+z=4/3,zx/z+x=-4/3,求(xyz)/(xy+yz+
设x,y,z是正实数,且x+y+z=1.求证：(1)xy+yz+xz≤1/3,(2)x√y+y√z+z√x≤√3/3.
如果实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)=8,用A表示|x-y|,|y-z|,|z-x|中的最
XYZ满足XY/X+Y=-2,YZ/Y+Z=3/4,ZX/Z+X=-4/3,求XYZ/XY+YZ+ZX的值
已知xyz都小于1,xy+yz+zx=1 求证：y/(2-X乘根号3)+z/(2-Y乘根号3)+x/(2-Z乘根...
已知 x,y,z都是正实数,且 x+y+z=xyz 证明 (y+x)/z+(y+z)/x+(z+x)/y≥2(1/x+1
(x-3y+z)^2+/ 5x-4y+z/=0 且xyz≠0 xy+yz+zx/x^2+y^2+z^2
x+y分之xy=5,y+z分之yz=2分之7,z+x分之zx=4,则xy+yz+zx分之xyz=?
已知x,y,z都是正数,且xyz=1,求证：xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)》6
分解因式：xyz-yz-zx-xy+x+y+z-1