为什么说如果太阳和行星间的引力与距离的二次方成反比,则行星的轨迹是椭圆

为什么说如果太阳和行星间的引力与距离的二次方成反比,则行星的轨迹是椭圆
高中物理书上有这么一句话：
“牛顿在前人研究的基础上,凭借他超凡的数学能力证明了：如果太阳和行星间的引力与距离的二次方成反比,则行星的轨迹是椭圆、并且阐述了普遍意义下的万有引力定律.”
那么为什么说：如果太阳和行星间的引力与距离的二次方成反比,则行星的轨迹是椭圆?
这个证明过程是怎么样的?
恳切期望各位学者提供有力的证明过程.
要的就是证明过程。
好像牛顿同志原来还没有出台万有引力定律呢，牛顿三定律倒是可以用，万有引力定律是因为证明了如果太阳和行星间的引力与距离的二次方成反比才联想推广出来的……

这是天体力学的二体问题
基本原理是牛顿第二定律和万有引力定律(这都不知道就去跳~吧）
F=ma,F=GMm/r＾2
联立两式得到一个6阶非线性常微分方程组.解此常微分方程组得到六个
积分和六个积分常数.这六个积分常数就是轨道根数.其中一个积分如下
r=a(1-e＾2)/〔1+ecos(θ+ω)〕
根据解析几何这是二次曲线,e为偏心率
当e=0时为正圆
当e=1时为抛物线
当e＞1时为双曲线
当0＜e＜1时为椭圆
根据六个积分可以推倒出天体力学一个重要的公式--活力公式
v＾2=u(2/r-1/a)
v为天体再轨道的上的运行速度,
u=G(M+m)
r为距离
a为轨道半长径
显然:当a=r时 轨道为正圆 v＾2=G(M+m)/r
当a=∽时 轨道为抛物线 v＾2=2G(M+m)/r
也就是说当 v=〔G(M+m)/r〕＾1/2时轨道为正圆
当 v=〔2G(M+m)/r〕＾1/2时轨道为抛物线
当 v在两者之间时轨道为椭圆
所以这个问题的答案是天体的初始速度介入〔G(M+m)/r〕＾1/2和 〔2G(M+m)/r〕＾1/2时轨道为椭圆
天体的初始速度v=〔G(M+m)/r〕＾1/2时轨道为正圆
椭圆的轨道是地球对附近的天体引力的折中.仅有一个行星和一个恒星的系统是没有任何意义的.早期的太阳系在形成过程中,原始的行星受到了小行星的撞击和其他一系列扰动,才导致椭圆轨道的形成.这叫行星徙动理论.
首先：正圆轨道也是椭圆轨道的一种,只不过是特殊的椭圆轨道.
如果要地球完全按照正圆轨道运转条件是十分苛刻的,首先就必须让太阳的其他行星消失,接着离太阳比较近的恒星也必须消失,否则他们就会对地球产生影响导致地球运转轨道的改变.
地球绕太阳公转,在给定的能量的条件下,可能的轨道有无数条,圆轨道只是其中的一条而已.如果想要地球按正圆轨道运行,地球的能量,动量要满足一定条件.就是任一时刻,地球的动能Ek和势能Ep的关系满足 Ek = -Ep/2.或者说当 Ek = -Ep/2时,地球运动方向垂直于日地连线.这个条件非常苛刻,即便是地球在正圆轨道上运行,一点微小的扰动都可以改变这种状态,使得地球在新的椭圆轨道上运行.
高中物理书上只是书人造卫星从远地点向近地点运动会加速,势能转化为动能.从近地点向远地点运动会减速,动能转化为势能.
当卫星速度正好为第1宇宙速度时,轨道为正圆.当卫星速度介于第1宇宙速度和第2宇宙速度之间时,轨道为椭圆.
严格来讲,所有人造卫星的轨道都是椭圆形的..比如地球赤道同步卫星,是人类期望达到纯正圆形轨道的卫星,这样在地面上看地球赤道同步卫星,它会天空中的一个固定点.但是因为受多种其他因素的影响,卫星轨道不能完全达到正圆,而是一个比较接近正圆的椭圆.於是,在地面上看地球赤道同步卫星,它是在天空漂移,在画8字.
在万有引力作用下,行星绕恒星运动或卫星绕行星运动只有两种情况：椭圆或双曲线,其中只有椭圆是稳定的．圆只是椭圆的特例．
圆是一种理想状态,大多数卫星的运动并不要求达到圆的轨迹． 只有同步卫星希望更接近圆的轨迹．但实际上发射精度不可能达到正圆,而且空间力的作用复杂,任何因素的影响,都会使轨道发生变化,因此同步卫星也不是正圆的．