在平面直角坐标系中,O是坐标系的原点,四边形AOBC是梯形,点A(0,4),B（6,0）.AC//OB,AC=3,连接B

来源：学生作业帮编辑：百度作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/07/09 05:31:10

在平面直角坐标系中,O是坐标系的原点,四边形AOBC是梯形,点A(0,4),B（6,0）.AC//OB,AC=3,连接BC.现有两个动点D、E分别从原点O和点B同时出发,其中点D以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点E以每秒5个单位的速度沿BC向终点C移动.过点D作DF//CB交OB于点F,连接DE、EF.设动点D、E的运动时间为t秒,当点D到达点A时,所有的运动都停止.
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（1） 5 ,4．
（2）由题意得C（1,2）,B（5,O）,
设所求抛物线解析式为y=ax（x-5）,
a=-1 2
y=-1 2 x2+5 2 x．
（3）直线AC：y=2．
直线AC与抛物线交于点C,D．
解得x1=1,x2=4．
∴CD=3．延长QM交x轴于点N．
①若MP⊥OB,则四边形AOPQ是矩形,
∴AQ=OP,
∴4-t=t,且t=2．
②若PM⊥BM,则MN2=PN•BN．
∵MN 2 =1+t 4
∴MN=t+1 2
PN=5-（1+t）-t=4-2t,BN=1+t,
∴（t+1 2 ）2=（4-2t）（1+t）,
∴t1=-1（舍去）,t2=5 3 ．
综上所得,当t=2（秒）,或t=5 3 （秒）时,△PMB是直角三角形．
或者：（1）如图1,过点B作BN⊥OC,垂足为N
∵(OA-8)2+ 10-OC =0,OB=OC,
∴OA=8,OC=10（1分）
∴OB=OC=10,BN=OA=8,
∴ON= OB2-BN2 =6．
∴B（6,8）（2分）
（2）如图1,∵∠BON=∠POH,∠ONB=∠OHP=90°．
∴△BON∽△POH,
∴BO PO =ON OH =BN PH
∵PC=5t．∴OP=10-5t．
∵BO=10,PO=10-5t,ON=6,
∴10 10-5t =6 OH ,
∴OH=6-3t,
同理可得,PH=8-4t．
∴BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4,
∴S=1 2 （3t+4）（8-4t）=-6t2+4t+16（3分）,
∴t的取值范围是：0≤t＜2（4分）
（3）①EF⊥PM（5分）
∵MR⊥OC,PH⊥OB,
∴∠RPM+∠RMP=90°,∠HPD+∠HDP=90°
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC．
∵BC∥PM,
∴∠RPM=∠HDP,
∴∠RMP=∠HPD,即：∠EMP=∠HPM,
∴EM=EP
∵点F为PM的中点,
∴EF⊥PM（6分）；
②如图2,过点B作BN′⊥OC,垂足为N′,BN′=8,CN′=4
∵BC∥PM,MR⊥OC,
∴△MRP≌△BN′C,
∴PR=CN′=4
设EM=x,则EP=x,在△PER中,∠ERP=90°,RE=MR-ME=8-x
有x2-（8-x）2=42,
∴x=5,
∴ME=5
∵△MGB∽△N′BO,
∴MG N′B =MB N′O
∵PM∥CB,AB∥OC,
∴四边形BMPC是平行四边形．
∴BM=PC=5t．
第一种情况：当点G在点E上方时（如图2）
∵EG=2,
∴MG=EM-EG=5-2=3,
∴3 8 =5t 6 ,
∴t=9 20 （7分）；
第二种情况：当点G在点E下方时（如图3）MG=ME+EG=5+2=7,
∴7 8 =5t 6 ,
∴t=21 20 （8分）
∴当t=9 20 或21 20 时,EG=2