关于证明“Φ是任何集合的子集”的疑问
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/17 09:09:53
关于证明“Φ是任何集合的子集”的疑问
大多书上都是用反证法(假设存在元素x属于Φ,但x不属于集合A,那么“Φ不是任何集合的子集”.但由于Φ不存在任何元素,所以先前假设的内容“Φ不是任何集合的子集”是错误的,即待证结论“Φ是任何集合的子集”是正确的).
但是我觉得这样证不对.换个思路,如果要证明“Φ是任何集合的子集”,只要能证明(元素x属于Φ,且x属于集合A)就可以了,但由于Φ不存在任何元素,所以假设(元素x属于Φ,且x属于集合A)是错误的,即“Φ不是任何集合的子集”.难道真的“Φ不是任何集合的子集”?
所以我觉得用Φ的定义(Φ不存在任何元素)和子集的定义(元素x属于A,且x属于B,那么A是B的子集)这2个“工具”来反证“Φ是任何集合的子集”是行不通的.因为用子集的定义来推翻假设,前提是子集定义中的集合A,B必须都是有元集合,即非Φ集合,不适合于Φ.所以我认为“Φ是任何集合的子集”这个应该是人为强行赋予的定义,而非通过反证明推出来的一个定理.
子集的定义[若存在(所有)元素x属于集合A,那么x都属于集合B,当且仅当这样A就是B的子集]
设命题P:(所有)元素x属于集合A;
Q:x属于集合B;
Z:A是B的子集;
子集的定义可化成命题公式是:ZP->Q (1)
再设命题a:元素x属于Φ;
b:元素x属于任意集合A;
c:Φ是任意集合A的子集;
带入上命题公式(1)中,其实就是要证明带入后是一个永真式,即命题a=T,b=F是不可能的,因为命题a的真值永=T(Φ的定义),所以命题c永=T,即“Φ是任意集合A的子集”......证毕!
是不是这样的?
大多书上都是用反证法(假设存在元素x属于Φ,但x不属于集合A,那么“Φ不是任何集合的子集”.但由于Φ不存在任何元素,所以先前假设的内容“Φ不是任何集合的子集”是错误的,即待证结论“Φ是任何集合的子集”是正确的).
但是我觉得这样证不对.换个思路,如果要证明“Φ是任何集合的子集”,只要能证明(元素x属于Φ,且x属于集合A)就可以了,但由于Φ不存在任何元素,所以假设(元素x属于Φ,且x属于集合A)是错误的,即“Φ不是任何集合的子集”.难道真的“Φ不是任何集合的子集”?
所以我觉得用Φ的定义(Φ不存在任何元素)和子集的定义(元素x属于A,且x属于B,那么A是B的子集)这2个“工具”来反证“Φ是任何集合的子集”是行不通的.因为用子集的定义来推翻假设,前提是子集定义中的集合A,B必须都是有元集合,即非Φ集合,不适合于Φ.所以我认为“Φ是任何集合的子集”这个应该是人为强行赋予的定义,而非通过反证明推出来的一个定理.
子集的定义[若存在(所有)元素x属于集合A,那么x都属于集合B,当且仅当这样A就是B的子集]
设命题P:(所有)元素x属于集合A;
Q:x属于集合B;
Z:A是B的子集;
子集的定义可化成命题公式是:ZP->Q (1)
再设命题a:元素x属于Φ;
b:元素x属于任意集合A;
c:Φ是任意集合A的子集;
带入上命题公式(1)中,其实就是要证明带入后是一个永真式,即命题a=T,b=F是不可能的,因为命题a的真值永=T(Φ的定义),所以命题c永=T,即“Φ是任意集合A的子集”......证毕!
是不是这样的?
![关于证明“Φ是任何集合的子集”的疑问](/uploads/image/z/4148041-49-1.jpg?t=%E5%85%B3%E4%BA%8E%E8%AF%81%E6%98%8E%E2%80%9C%CE%A6%E6%98%AF%E4%BB%BB%E4%BD%95%E9%9B%86%E5%90%88%E7%9A%84%E5%AD%90%E9%9B%86%E2%80%9D%E7%9A%84%E7%96%91%E9%97%AE)
元素x属于A=>元素x属于B (1)
等价于:
元素x不属于B=>元素x不属于A (2)
所以只要证明 对于任意集合B,只要x不属于B,则x不属于Φ 就可以了.这一点是显然的,一位任何元素都不属于Φ
至于(2)和(1)为什么等价,这里只证从(2)推(1):
假设(2)已经成立,同时不妨设(1)不成立,即:
x属于A,但不属于B
那么根据x不属于B,及(2),得出x不属于A,与“不妨设”部分矛盾,所以“不妨设”部分是不成立的,也就是(1)不成立是不成立的...证毕
楼主,我看你的也晕了,不过我知道你已经理解了..继续努力
让我们从你的ZP->Q开始:
Z:Φ是A的子集
P:元素x属于集合Φ;
Q:x属于集合A;
我们要证Z,只需证P->Q,因为P->Q !Q -> !P
所以只要证Q不成立则P不成立就行了.而我们知道P永远是不成立的.所以倒推回去,Z就成立了
等价于:
元素x不属于B=>元素x不属于A (2)
所以只要证明 对于任意集合B,只要x不属于B,则x不属于Φ 就可以了.这一点是显然的,一位任何元素都不属于Φ
至于(2)和(1)为什么等价,这里只证从(2)推(1):
假设(2)已经成立,同时不妨设(1)不成立,即:
x属于A,但不属于B
那么根据x不属于B,及(2),得出x不属于A,与“不妨设”部分矛盾,所以“不妨设”部分是不成立的,也就是(1)不成立是不成立的...证毕
楼主,我看你的也晕了,不过我知道你已经理解了..继续努力
让我们从你的ZP->Q开始:
Z:Φ是A的子集
P:元素x属于集合Φ;
Q:x属于集合A;
我们要证Z,只需证P->Q,因为P->Q !Q -> !P
所以只要证Q不成立则P不成立就行了.而我们知道P永远是不成立的.所以倒推回去,Z就成立了