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已知函数f(x)=sinπx(x2+1)(x2−2x+2).关于下列命题正确的个数是(  )

来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/07 19:42:41
已知函数f(x)=
sinπx
(x
已知函数f(x)=sinπx(x2+1)(x2−2x+2).关于下列命题正确的个数是(  )
①函数f(x)是周期函数不正确,因为分母随着自变量的远离原点,趋向于正穷大,所以函数图象无限靠近于X轴,故不是周期函数;
②函数f(x)既有最大值又有最小值,由①的判断知,函数存在最大值与最小值,此命题正确;
③函数f(x)的定义域是R,且其图象有对称轴,由函数解析式可以得出,其图象周期性穿过X轴,由于分母不断增大,图象往两边延伸都无限靠近于X轴,其对称轴是x=
1
2,此命题正确;
④对于任意x∈(-1,0),f′(x)<0(f′(x)是函数f(x)的导函数),此命题不正确,由于自变量从-1变化到0分母变小,而分子由0减小到-1,再由-1增大到0,所以函数值的变化是选减小再增大,故导数恒小于0不成立.此命题不正确
综上,②③正确
故选B