求函数y=x/1+x²在闭区间[-1,1]上的最大值和最小值
来源:学生作业帮 编辑:百度作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/07 23:47:05
求函数y=x/1+x²在闭区间[-1,1]上的最大值和最小值
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解设x1,x2属于(-1,1),其x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=[(x1-x2)+x1x2(x2-x1)]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=(x1-x2)(1-x1x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)
由x1,x2属于[-1,1],
知x1x2<1
即1-x1x2>0
又由x1-x2<0
知(x1-x2)(1-x1x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)<0
即f(x1)-f(x2)<0
即f(x)在[-1,1]上是增函数,
故当x=1时,y有最大值f(1)=1/2
当x=-1时,y有最小值f(-1)=-1/2
则f(x1)-f(x2)
=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)
=[x1(1+x2^2)-x2(1+x1^2)]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=[(x1-x2)+x1x2(x2-x1)]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=(x1-x2)(1-x1x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)
由x1,x2属于[-1,1],
知x1x2<1
即1-x1x2>0
又由x1-x2<0
知(x1-x2)(1-x1x2)/(1+x1^2)(1+x2^2)<0
即f(x1)-f(x2)<0
即f(x)在[-1,1]上是增函数,
故当x=1时,y有最大值f(1)=1/2
当x=-1时,y有最小值f(-1)=-1/2
求函数y=x/1+x²在闭区间[-1,1]上的最大值和最小值
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